阿貝爾獎

很少有讀者會談論亞伯這個名字。 不，這不是關於被他自己的兄弟該隱殺死的不幸年輕人。 我指的是挪威數學家 Niels Henrik Abel（1802-1829 年）和挪威科學院剛剛授予（16 年 2016 月 XNUMX 日）以他命名的獎項以及致 Andrew J. Wiles 爵士的信。 這彌補了數學家在世界上最重要的科學獎的類別排名中被阿爾弗雷德諾貝爾排除在外的情況。

雖然數學家很欣賞所謂的。 菲爾茲獎 （官方認為是其領域中最高的桂冠），它僅與 15 個相關聯。 （不是數百萬，數千！）加元直到獲勝者 亞伯獎 將一張 6 萬挪威克朗（約合 750 8 歐元）的支票放入口袋。 諾貝爾獎獲得者獲得 865 億瑞典克朗，約合 XNUMX 萬。 歐元 - 比贏得大型錦標賽的網球運動員還少。 阿爾弗雷德·諾貝爾 (Alfred Nobel) 沒有將數學家列為可能的獲獎者可能有幾個可能的原因。 諾貝爾的遺囑涉及給人類帶來最大利益的“發明和發現”，但可能不是理論上的，而是實踐上的。 數學不被認為是一門可以給人類帶來實際利益的科學。

為什麼亞伯

誰是 尼爾斯·亨利克·阿貝爾 他是如何成名的？ 他一定很聰明，因為雖然他年僅 27 歲就死於肺結核，但他在數學中卻佔有一席之地。 嗯，在初中的時候，他們就教我們解方程； 首先是度數，然後是方形，有時是立方。 早在四百年前，意大利科學家就能夠應對 四次方程即使是看起來很無辜的人：

以及其中一個元素

是的，科學家本可以在 XNUMX 世紀做到這一點。 不難猜測，更高次的方程被考慮在內。 沒事了。 兩百年來沒有人成功過。 Niels Abel 也失敗了。 然後他意識到……也許這根本不可能。 可以證明 不可能解出這樣一個方程 - 或者更確切地說，用簡單的算術公式表達解決方案。

這是 2 個中的第一個。 多年（！）這種類型的推理：無法證明某事，無法完成某事。 對此類證明的壟斷屬於數學——實用科學正在越來越多地打破壁壘。 1888年，美國專利委員會主席宣稱“未來幾乎沒有什麼發明是可以期待的，因為幾乎所有的東西都已經被發明出來了”。 今天我們甚至很難嘲笑這個……但在數學中，一旦證明，它就會丟失。 這是做不到的。

歷史將我所描述的發現分為 尼爾斯·阿貝爾 i 埃瓦里斯塔·伽羅瓦，他們都在 XNUMX 歲之前去世，被同時代人低估了。 Niels Abel 是為數不多的挪威數學家之一（實際上是兩位，另一位是 索菲斯·李, 1842-1899 - 這些姓氏聽起來不像斯堪的納維亞人，但都是挪威人）。

挪威人與瑞典人不和——不幸的是，這在鄰國人民中很常見。 挪威人設立阿貝爾獎的動機之一，就是想向他們的同胞阿爾弗雷德·諾貝爾表明：拜託，我們並不差。

追逐不存在的保證金進入

這是 Niels Henrik Abel 給你的。 現在關於該獎項的獲得者，一位 63 歲的英國人（住在美國）。 他在 1993 年的壯舉只能與攀登珠穆朗瑪峰、登月或類似的東西相提並論。 先生是誰 安德魯威爾斯? 如果您查看他的出版物列表和各種可能的引文索引，他將是一位優秀的科學家——其中有成千上萬。 然而，他被認為是最偉大的數學家之一。 他的研究涉及數論並使用與 代數幾何 歐拉茲 表徵論.

他因解決從數學的​​角度來看完全無關緊要的問題而聞名 費馬大定理的證明 （誰不知道發生了什麼——在下面提醒你）。 然而，真正的價值不是解決方案本身，而是創建一種新的測試方法，用於解決許多其他重要問題。

在這一點上，不可能不反思某些事情的重要性，反思人類成就的等級。 成千上萬的年輕人夢想比別人踢得更好，成千上萬的人想要讓自己暴露在喜馬拉雅的風中，在橋上跳橡膠，發出他們稱之為唱歌的聲音，向別人塞進不健康的食物……或者解決對任何人來說都是一個不必要的等式。 珠穆朗瑪峰的第一位征服者， 愛德華希拉里爵士，直接回答了他為什麼去那裡的問題：“因為他在，因為珠穆朗瑪峰在！” 這句話的作者一生都是數學家，是我一生的秘方。 唯一正確的！ 但是，讓我們結束這種哲學吧。 讓我們回到數學的健康道路上。 為什麼對費馬定理大驚小怪？

我想我們都知道它們是什麼 質數. 想必大家都明白“分解成素數”這句話，尤其是我們儿子把手錶變成零件的時候。

皮埃爾·德·費馬 （1601-1665）是圖盧茲的一名律師，但他也處理業餘數學並取得了相當好的成績，因為他作為數論和分析的許多定理的作者而在數學史上留下了深刻的印象。 他過去常常把他的評論和評論放在他所讀書籍的空白處。 確切地說——大約在 1660 年，他在其中一個頁邊空白處寫道：

這是給你的皮埃爾·德·費馬。 從他那個時代開始（讓我提醒你，勇敢的加斯科貴族達達尼昂當時住在法國，在波蘭，安傑伊·克米齊奇與 Bohuslav Radziwill 並肩作戰），數百甚至數千名大小數學家試圖重建，但沒有成功一個才華橫溢的業餘愛好者的失落推理。 雖然今天我們確信費馬的證明不可能是正確的，但這個簡單的問題是否 方程 xⁿ +你ⁿ = gⁿ, n> 2 有自然數解? 可以這麼難。

許多在 23 年 1993 月 XNUMX 日來工作的數學家在他們的電子郵件（當時還是一個新鮮的、仍然溫暖的發明）中發現了一條簡潔的信息：“來自英國的謠言：懷爾斯證明了費馬。” 第二天，每日新聞報導了這件事，懷爾斯系列講座的最後一場講座聚集了媒體、電視和攝影記者——就像在一個著名足球運動員的會議上一樣。

任何讀過 Kornel Makuszyński 的“七年級的撒旦”的人肯定記得歷史教授的兄弟 Iwo Gąsowski 先生所做的事情，他的學生提問系統是由 Adaś Cisowski 發現的。 Iwo Gąsowski 正在求解費馬方程，浪費了時間、財產並忽略了房子：

最後，硫磺先生明白權力法案並不能保證家庭幸福，於是放棄了。 Makuszyński 不喜歡科學，但他對 Gąsowski 先生的看法是正確的。 Iwo Gąsowski 犯了一個根本性的錯誤。 他並沒有試圖成為真正意義上的專家，而是表現得像個業餘愛好者。 安德魯·懷爾斯是一名專業人士。

對抗費馬大定理的故事很有趣。 可以很簡單地看出，對於素數的指數，求解它們就足夠了。 對於 n = 3，1770 年給出了解決方案。 倫納德·歐拉, 對於 n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet （1828） 阿德里安·瑪麗·勒讓德 1830 年，n = 7 – 加布里埃爾·萊姆 1840 年。 二十世紀，德國數學家將大部分精力投入到費馬問題上 恩斯特·愛德華·庫默 （1810-1893）。 雖然他沒有取得最終的成功，但他證明了許多特殊情況，並發現了素數的許多重要性質。 現代代數、理論算術和代數數論的大部分起源於庫默關於費馬定理的工作。

當用經典數論的方法解決費馬問題時，它們被分為兩種不同的複雜情況：第一種，當我們假設乘積 xyz 與指數 n 互質時，第二種，當數 z 可以被指數。 在第二種情況下，已知沒有達到 n = 150 的解，而在第一種情況下，沒有達到 n = 000 的解（Lehmer，6 年）。 這意味著在任何情況下都不可能出現一個可能的反例：它需要數十億位數的鈔票才能獲得。

這是一個古老的故事。 早在 1988 年，數學界就知道 宮岡洋一 證明了一些不等式，由此得出以下結論：如果只有指數 n 足夠大，那麼費馬方程肯定沒有解。 與德國人稍早的結果相比 格德法爾廷斯 (1983) Miyaoka 的結果意味著，如果有解決方案，那麼（就比例而言）它們的數量是有限的。 因此，費馬問題的解決方案被簡化為列出許多情況的結尾。 不幸的是，其中有多少是未知的：宮岡使用的方法無法估計有多少已經“有序”。

這裡值得注意的是，多年來對費馬定理的研究不是在純數論的框架內進行的，而是在代數幾何的框架內進行的，代數幾何是從代數衍生出來的一門數學學科，是笛卡爾解析幾何的延伸，現在幾乎無處不在：從數學基礎（邏輯拓撲理論），到數學分析（上同調方法、泛函滑輪）、經典幾何，再到理論物理學（向量叢、扭量空間、孤子）。

當榮譽不在乎

也很難不為這位數學家的命運感到難過，他對解決費馬問題的貢獻非常重要。 我說的是阿拉基爾蘇倫·尤里耶維奇·阿拉克洛夫，具有亞美尼亞血統的烏克蘭數學家），他在 80 年代初，在他四年級的時候，創造了所謂的。 算術簇的交集理論. 這樣的表面充滿了孔洞和瑕疵，它們上面的曲線可以突然消失，然後重新出現。 相交理論解釋瞭如何計算這些曲線的相交程度。 這是法爾廷斯和宮岡在他們研究費馬問題時使用的主要工具。

有一次，阿拉克洛夫被邀請在一個大型數學大會上展示他的結果。 然而，由於他對蘇聯體制持批評態度，他被拒絕離開。 不久，他被徵召入伍。 他挑釁地表明，出於和平主義的原因，他一般反對服兵役。 據我從相當可疑的消息來源得知，據稱他被送往一家封閉的精神病院，並在那裡度過了大約一年。 如您所知，顯然出於政治目的，蘇聯精神病學家挑出了一種特殊類型的精神分裂症（英文來自，意思是“遲鈍”，在俄語中 遲緩型精神分裂症).

很難說百分百的真實情況，因為我的信息來源不是很可靠。 顯然，離開醫院後，阿拉克洛夫在扎戈爾斯克的一座修道院裡待了幾個月。 他目前與妻子和三個孩子住在莫斯科。 他不做數學。 安德魯懷爾斯充滿了榮譽和金錢。

從一個吃飽的歐洲社會的角度來看，這一步也是不可理解的 格里高利·佩雷爾曼，他在 2002 年解決了 XNUMX 世紀最著名的拓撲問題，”波納里猜想然後他拒絕了所有可能的獎項。 首先是開頭提到的菲爾茲獎，數學家認為這相當於諾貝爾獎，然後是解決二十世紀遺留下來的七個最重要的數學問題之一的百萬美元獎。 “其他人更好，我不在乎榮譽，因為數學是我的愛好，我有食物和香煙，”他或多或少地告訴震驚的世界。

300多年後的成功

費馬大定理無疑是最著名和最有效的數學問題。 它開放了三百多年，制定的非常清晰易讀，理論上任何人都可以攻擊，在計算機普及的時代，嘗試打破另一個評估記錄相對容易可能的解決方案。 在數學史上，這個問題通過它的啟發作用，起到了非常重要的“文化塑造”作用，促成了整個數學學科的出現。 這很奇怪，因為問題本身相對微不足道，而且僅關於費馬方程中缺乏根的信息對數學知識的一般寶庫沒有多大貢獻。

1847 年，Gabriel Lamet (1795-1870) 在法國科學院發表演講，宣布解決費馬問題。 然而，推理中的一個細微錯誤立即被注意到。 它是基於對唯一分解定理的未經授權的使用。 我們記得在學校裡，每個數字都有一個唯一的分解為素因數，例如，2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503。數字 503 沒有除數（除了 1 和 503 本身），因此無法進一步擴展。

正整數具有分佈唯一性的特性，但在其他數字集合中，它們不是必需的。 例如，對於字符編號

我們有 36 = 2²·2³ ，但是也

通過分析 Lame 的證明，Kummer 能夠證明費馬猜想對於 p 的某些指數的有效性。 他稱它們為正素數。 這是朝著完整證明邁出的重要的第一步。 圍繞費馬定理形成了一個神話。 “或者可能更糟——也許你甚至不能證明它可能或不可能解決？”

但從80年代開始，大家都覺得目標很近了。 我記得當時柏林牆還在，我已經在聽“很快，一會兒”的講座了。 好吧，有人必須是第一個。 Andrew Wiles 以一口英語口音結束了他的演講：“我認為費馬證明了這一點”，過了一段時間，擁擠的聽眾才意識到發生了什麼：一個有 330 年曆史的數學問題是由數百名來自美國的數學家集中研究的團本身和無數業餘愛好者，例如馬庫辛斯基小說中的伊沃·貢索夫斯基。 安德魯·懷爾斯有幸與挪威國王哈拉爾五世握手。 也許他沒有註意到阿貝爾獎的微薄津貼，大約幾十萬歐元——他為什麼需要這麼多錢？