反轉魅力
關於「對立之美」的討論很多，而且不只在數學中。 請記住，相反數是那些僅符號不同的數：正 7 和負 7。相反數的和為零。 但對我們（即數學家）來說，倒數更有趣。 如果數字的乘積等於 1，則這些數字互為倒數。 每個數都有它的相反數，每個非零數都有它的逆數。 逆元的逆元就是種子。
只要兩個量彼此相關，就會發生反轉，如果一個量增加，另一個量就會以相應的速率減少。 「對應」是指這些量的乘積不變。 我們在學校記得：這是反比例關係。 如果我想用一半的時間到達目的地（即時間減半），我需要將速度加倍。 如果將裝有氣體的密封容器的體積減少n倍，那麼它的壓力將增加n倍。
在基礎教育中，我們仔細區分差異比較和相對比較。 “還有多少”？ – “多少倍？”
以下是一些學校活動：
1工作。 在兩個正數中，第一個比第二個大 5 倍，同時比第一個大 5 倍。 尺寸是多少？
2工作。 如果一個數比第二個數大3，第二個數比第三個數大2，那麼第一個數比第三個數大多少？ 如果第一個正數是第二個正數的兩倍，第一個數是第三個數的三倍，那麼第一個數比第三個數大多少倍？
3工作。 在任務 2 中，只允許自然數。 那裡描述的安排是否可能？
4工作。 在兩個正數中，第一個比第二個大 5 倍，第二個比第一個大 5 倍。 是否可以？
「平均」或「平均」的概念看似很簡單。 如果我星期一騎自行車 55 公里，週二騎自行車 45 公里，週三騎自行車 80 公里，那麼我平均每天騎自行車 60 公里。 我們完全同意這些計算，儘管它們有點奇怪，因為我從未在一天內騎過 60 公里。 我們也很容易接受一個人的份額：如果六天內有 33 人光顧一家餐廳，那麼日均消費就是 XNUMX 人和三分之一。 嗯！
只有平均尺寸有問題。 我喜歡騎自行車。 因此，我利用了旅行社“讓我們一起去吧”的優惠 - 他們將行李送到酒店，客戶在那裡騎自行車休閒。 星期五我開了四個小時的車：前兩個小時的時速是 24 公里。 然後我感到非常疲倦，以至於接下來的兩個每小時只有 16 次。 我的平均速度是多少？ 當然是（24+16）/2=20km=20km/h。
然而週六，行李寄存在飯店，我去看看24公里外的城堡遺址，看完後就回來了。 我朝一個方向開了一個小時，回來時速度放慢了，時速為16公里。 我在飯店-城堡-飯店路線的平均速度是多少？ 時速20公里？ 當然不是。 畢竟，我總共開了 48 公里，花了一個小時（「那裡」）和一個半小時回來。 兩個半小時即48公里小時48/2,5=192/10=19,2公里！ 在這種情況下，平均速度不是算術平均值，而是給定值的諧波：
這個二層公式可以理解為：正數的調和平均數是其倒數的算術平均數的倒數。 倒數總和的倒數出現在學校作業的許多合唱中：如果一個工人挖了幾個小時，另一個工人挖了 b 個小時，那麼，他們一起工作，就按時挖了。 水池（每小時一次，六小時一次）。 如果一個電阻具有 R1，另一個電阻具有 R2，則它們具有並聯電阻。
如果一台電腦可以在幾秒鐘內解決問題，另一台電腦可以在 b 秒內解決問題，那麼當它們一起工作時...
停止！ 類比到此結束，因為一切都取決於網路的速度：連接的效率。 工人也可以互相阻礙或幫助。 如果一個人可以在八小時內挖一口井，那麼八十個工人可以在 1/10 小時（或 6 分鐘）內完成嗎？ 如果6名搬運工在XNUMX分鐘內將一架鋼琴送到一樓，那麼其中一人將鋼琴送到六十樓需要多長時間？ 這些問題的荒謬性讓我們記住所有數學對「現實生活」問題的適用性是有限的。
尊敬的賣家
秤不再使用。 回想一下，這種秤的一個碗上放了一個重物，另一個碗上放著被稱重的貨物，當重量達到平衡時，貨物的重量就等於重量。 當然，重物的兩臂必須等長，否則稱量不准確。
啊對。 想像一個銷售人員，他的體重很重，但肩膀不對稱。 不過，他想對顧客誠實，分兩批稱重貨物。 首先，他在一個盤上放置重物，在另一個盤上放置相應數量的貨物，使秤保持平衡。 然後，他以相反的順序稱量貨物的後“一半”，即將重量放在第二個盤子上，將貨物放在第一個盤子上。 由於雙手不相等，所以兩半永遠不會相等。 而且賣家問心無愧，買家也稱讚他的誠實：“他這裡刪掉的，後來又加上去了。”
但是，讓我們仔細看看儘管體重不穩定但仍想誠實的賣家的行為。 設天平的臂長為 a 和 b。 如果其中一個碗裝 2 千克重量，另一個碗裝 x 件貨物，則如果第一次 ax = b 且第二次 bx = a，則秤處於平衡狀態。 所以，貨物的第一部分等於b/一公斤，第二部分是a/b。 好的重量有a=b，所以買家會收到0公斤的貨物。 讓我們看看當 a ≠ b 時會發生什麼。 那麼 a – b ≠ XNUMX 並且從簡化的乘法公式我們有
我們得出了一個意想不到的結果：在這種情況下，看似公平的「平均」測量方法對買方有利，因為他們收到了更多的貨物。
5工作。 （重要的是，在數學中一點也不重要！）。 一隻蚊子重2,5毫克，一頭大象重XNUMX噸（這是相當正確的數據）。 計算蚊子和大象的質量（重量）的算術平均值、幾何平均值和調和平均值。 檢查計算結果，看看它們除了算術練習之外是否還有任何意義。 讓我們看一下在「現實生活」中沒有意義的數學計算的其他範例。 提示：我們已經看過本文中的一個範例。 這是否意味著我在網路上找到的那位匿名學生的觀點是對的：「數學用數字來愚弄人們」？
是的，我同意在宏偉的數學中，你可以“愚弄”人們——每秒鐘的洗髮水廣告都說它會增加一定百分比的蓬鬆度。 我們是否應該尋找可用於犯罪活動的有用日常工具的其他示例？
克！
這段文字的標題是動詞（第一人稱複數）而不是名詞（千分之一公斤的主格複數）。 和諧以秩序和音樂為前提。 對古希臘人來說，音樂是科學的一個分支——誠然，如果我們這麼說，我們正在將「科學」一詞的當前意義轉移到我們這個時代之前的時代。 畢達哥拉斯生活在公元前二十世紀，他不僅不知道電腦、手機和電子郵件，而且也不知道羅伯特·萊萬多夫斯基、梅什科一世、查理曼和西塞羅是誰。 他不知道阿拉伯數字，甚至不知道羅馬數字（它們在公元前五世紀左右開始使用），他不知道布匿戰爭是什麼……但他懂音樂……
他知道弦樂器的振動係數與琴弦振動部分的長度成反比。 他知道，他知道，他只是無法像我們今天那樣表達它。
組成一個八度音階的兩個弦振動的頻率是1:2的比例，即高音的頻率是低音的頻率的兩倍。 五度的正確振動比是 2:3，四度是 3:4，純大三度是 4:5，小三度是 5:6。 這些是愉快的輔音音程。 然後是兩個中性的，振動比為 6:7 和 7:8，然後是不和諧的 - 一個大音（8:9），一個小音（9:10）。 這些分數（比率）就像數學家（出於這個原因）稱之為調和級數的序列的連續成員的比率：
理論上是無限和。 八度音階的振盪比例可以寫成2:4，並在它們之間加上五度音：2:3:4，也就是說，我們將把八度音階分為五度和四度。 這在數學上叫做諧波段劃分：
米。 1. 對於音樂家：將八度 AB 除以第五度 AC。對於數學家：調和分割
當我（上面）談論理論上的無限和（例如調和級數）時，我的意思是什麼？ 事實證明，這樣的和可以是任何大數，主要是我們加得夠長。 成分越來越少，但是卻越來越多。 什麼佔上風？ 這裡我們進入數學分析領域。 事實證明，成分已經耗盡，但不是很快。 我將證明，只要有足夠的成分，我就可以得到總和：
任意大。 我們以n=1024為例，將單字分組，如圖所示：
在每個括號中，每個單字都大於前一個單詞，當然，最後一個單字除外，它等於自身。 在下面的括號中，我們有 2、4、8、16、32、64、128 和 512 個分量； 每個括號中的總和的值大於 5/7,50918。 所有這些都超過 XNUMX。 更準確的計算表明該金額約為 XNUMX。 雖然不多，但總是如此，你可以看到，通過取任意大的 n，我可以擊敗任何數字。 這種令人難以置信的緩慢（例如，僅用成分就超過了十）但無限的增長一直讓數學家著迷。
諧波級數的無限之旅
這是一個非常嚴肅的數學謎題。 我們有無限量的矩形塊（我說的是矩形！），其尺寸為 4 × 2 × 1。考慮一個由多個（在 無花果。 2 - 四）塊，排列成第一個傾斜其長度的½，第二個從上方傾斜XNUMX/XNUMX，依此類推，第三個傾斜六分之一。 好吧，也許為了讓它真正穩定，讓我們把第一塊磚稍微傾斜一點。 這對計算無關緊要。
米。 2. 重心的確定
也很容易理解，由於前兩個塊（從上往下數）組成的圖形的對稱中心位於B點，那麼B就是重心。 讓我們從幾何上確定由三個上部塊組成的系統的重心。 這裡一個非常簡單的論證就夠了。 讓我們在心裡把三塊組合分成兩個上面的塊和第三個下面的塊。 該中心必須位於連接兩個部件重心的橫切面上。 這一集的什麼時候？
有兩種指定方式。 在第一個例子中，我們將觀察到該中心應該位於三塊金字塔的中間，即與第二個中間塊相交的直線上。 在第二種方法中，我們意識到，由於頂部兩個區塊的總質量是單一區塊#3（上圖）的兩倍，因此該部分的重心距B 的距離必須是第三個區塊的中心S 的兩倍堵塞。 類似地，我們找到下一個點：將找到的三個區塊的中心與第四個區塊的中心 S 連接起來。 整個系統的中心位於高度 2 處，並將該線段除以 1 到 3（即除其長度的 XNUMX/XNUMX）的點。
我們將進一步進行計算，得到如圖 XNUMX 所示的結果。 圖 3. 透過以下方式從下塊的右邊緣移除連續的重心：
因此，金字塔重心的投影始終在底面內。 塔不會倒塌。 現在讓我們來看看 無花果。 3 現在讓我們使用從頂部算起的第五個區塊作為基礎（標有較亮顏色的區塊）。 頂部傾斜：
因此它的左邊緣比底的右邊緣遠 1。 這是下一個揮桿：
最大的波動是多少？ 我們已經知道了！ 沒有最偉大的！ 即使是最小的方塊，你也可以得到一公里的懸垂——不幸的是，這只是從數學上來說：整個地球不足以建造這麼多方塊！
米。 3.增加更多塊
現在是我們上面留下的計算。 我們將計算 x 軸上「水平」的所有距離，因為這就是它的全部內容。 A點（第一個區塊的重心）距離右邊緣1/2。 點 B（雙塊系統的中心）位於第二塊右邊緣 1/4 處。 讓第二個區塊的末尾作為起點（我們現在將繼續第三個區塊）。 例如，#3 單一區塊的重心在哪裡？ 該區塊長度的一半，因此它從我們的參考點移除了 1/2 + 1/4 = 3/4。 C點在哪裡？ 在 3/4 和 1/4 之間的三分之二段中，即在點 t 處，我們將起點改為第三個區塊的右邊緣。 三塊系統的重心現在已從新的參考點移開，依此類推。 重心Cn 由 n 個方塊組成的塔的 1/2n 距離瞬時參考點，即基礎方塊的右邊緣，即從頂部開始的第 n 個方塊。
由於倒數級數發散，我們可以獲得任何大的變化。 這真的能實現嗎？ 它就像一座無盡的磚塔——遲早會在自身重量的作用下倒塌。 在我們的方案中，區塊放置的最小誤差（以及部分行總和的緩慢增加）意味著我們不會走得太遠。
