密碼和間諜

在今天的數學角中，我將看一下我在國家兒童基金會每年一度的兒童科學營中討論的話題。 該基金會正在尋找對科學感興趣的兒童和青少年。 你不必非常有天賦，但你確實需要有“科學素養”。 不需要很好的學校成績。 試試看，你可能會喜歡。 如果您是高年級小學生或高中生，請申請。 通常由家長或學校進行報告，但並非總是如此。 找到基金會的網站並找出答案。

學校裡越來越多地談論“編碼”，指的是以前稱為“編程”的活動。 這是教育理論家的常見程序。 他們挖掘舊方法，給它們一個新名字，「進步」自然而然地發生了。 有幾個領域會發生這種週期性現象。

人們可以得出這樣的結論：我貶低說教。 不。 在文明的發展過程中，我們有時會回到過去、被遺棄、現在正在復興的地方。 但我們的角落是數學的，不是哲學的。

屬於一個特定的群體也意味著「共同的符號」、共同的讀物、諺語和寓言。 任何一個完美地學會了波蘭語的人，如果他不回答啄木鳥在做什麼的問題，“甚切布熱申有一個大灌木叢，一隻甲蟲在蘆葦叢中嗡嗡作響”，他將立即被揭露為外國勢力的間諜。 當然是噎住了！

這不僅僅是一個笑話。 1944年XNUMX月，德軍在阿登地區發動了最後的進攻，付出了巨大的代價。 他們動員能說流利英語的士兵擾亂盟軍的行動，例如在十字路口引導他們走向錯誤的方向。 一陣驚訝之後，美國人開始向士兵提出可疑的問題，這些問題的答案對於來自德克薩斯州、內布拉斯加州或喬治亞州的人來說是顯而易見的，但對於不是在那裡長大的人來說卻是不可想像的。 對現實的無知直接導致了執行。

說到點子上。 我向讀者推薦 Lukasz Badowski 和 Zaslaw Adamashek 合著的書“抽屜裡的實驗室 - 數學”。 這是一本精彩的書，它精彩地展示了數學確實對某些東西有用，“數學實驗”不是空話。 除其他外，它還包括所描述的“硬紙板之謎”的構造 - 一種只需十五分鐘即可創建的設備，其工作方式就像一台嚴肅的密碼機。 這個想法本身非常有名，提到的作者把它完美地實現了，我會稍微改變一下，用更多的數學外衣包裹它。

密碼鋼鋸

在我位於華沙郊區的別墅村的一條街道上，人行道最近從“trlinka”——六角形鋪路石上拆除。 乘車很不舒服，但數學家的靈魂很高興。 用規則的（即規則的）多邊形覆蓋平面並不容易。 只能是三角形、正方形和正六邊形。

我可能對這種發自內心的喜悅有點開玩笑，但六邊形是一個美麗的形狀。 它可以用來製作相當成功的加密設備。 幾何會有所幫助。 六邊形具有旋轉對稱性 - 當旋轉 60 度時它會自我重疊。 例如，在左上角標有字母 A 的字段 無花果。 1 轉過這個角度後，它也會落入方框A——其他字母也一樣。 所以讓我們從網格中切出六個方塊，每個方塊都有一個不同的字母。 我們把這樣得到的網格寫在一張紙上。 在自由的六個字段中，輸入我們要加密的文本的六個字母。 讓我們將工作表旋轉 60 度。 將出現六個新字段 - 輸入我們消息的下六個字母。

米。 1. 數學中的樂趣。

在右邊 無花果。 1 我們有這樣編碼的文本：“車站有一輛巨大的重型蒸汽機車。”

現在一點學校數學就會派上用場了。 兩個數可以有多少種相對排列方式？

多麼愚蠢的問題？ 兩個人來說：一個在前面，或另一個在前面。

偉大的。 還有三個數字？

列出所有設定也不難：

123、132、213、231、312、321。

嗯，這是四個人的份量！ 還是可以說清楚的。 猜猜我輸入的順序規則：

1234，1243，1423， 4123，1324，1342,

1432， 4132，2134，2143，2413， 4213，

2314，2341，2431， 4231，3124，3142,

3412， 4312，3214，3241，3421， 4321

當有 120 個數字時，我們得到 XNUMX 種可能的設定。 讓我們稱呼他們為 排列。 n 個數可能的排列數是 1 · 2 · 3 · … · n 的乘積，稱為 強 並標示驚嘆號：3!=6, 4!=24, 5!=120。 對於下一個數字 6，我們有 6!=720。 我們將使用它來增加我們的六角加密盾的複雜性。

我們選擇從 0 到 5 的數字排列，例如 351042。我們的六邊形擾亂盤在中間字段有一個破折號 - 這樣它就可以放在「零位置」 - 上面有一個破折號，如圖 1 所示。 60. 我們將圓盤以這種方式放在一張紙上，在上面寫下我們的報告，但我們不是立即寫，而是將其旋轉180 次60 度（即60 度），並在紙上寫下六個字母空欄位。 我們回到起始位置。 我們將錶盤旋轉五次 0 度，即錶盤的五個「牙齒」。 我們正在印刷。 下一個刻度位置是圍繞零旋轉 XNUMX 度的位置。 第四個位置是XNUMX度，這是起始位置。

你明白發生了什麼事嗎？ 我們還有一個額外的機會 - 將我們的“機器”複雜化七百倍以上！ 因此，我們有兩個獨立的「自動機」位置——選擇網格和選擇排列。 網格可以有 66 = 46656 種方式選擇，排列 720。這給了 33592320 種可能性。 超過 33 萬個密碼！ 幾乎少了一點，因為有些網格是無法用紙剪出來的。

жней части 無花果。 1 我們收到一條編碼如下的訊息：“我將向您派遣四個傘兵部隊。” 這件事不能讓敵人知道，這是很容易理解的。 但他會明白這些嗎：

TPOROPVMANVEORDISZ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

即使有簽名 351042？

我們正在建造 Enigma——德國加密機

米。 2. 我們的加密機的初始設定範例。

排列 (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY)。

正如我已經提到的，我將創造這樣一台紙板機的想法歸功於“抽屜裡的實驗室 - 數學”一書。 我的“構造”與其作者給出的構造有些不同。

德國人在戰爭期間使用的加密機有一個巧妙簡單的原理，有點類似我們看到的十六進位密碼。 每次都是一樣的： 打破一個字母到另一個字母的硬分配。 它必須是可更換的。 如何做到這一點才能控制它？

讓我們不選擇任何排列，而是選擇一個循環長度為 2 的排列。簡單地說，類似於幾個月前此處描述的“Gaderipoluk”，但涵蓋了字母表中的所有字母。 讓我們就 24 個字母達成一致——沒有 ą、ę、ć、ó、ń、ś、ó、ż、ź、v、q。 有多少這樣的排列？ 這是高中畢業生的任務（他們應該可以馬上解決）。 多少？ 很多？ 幾千？ 是的：

1912098225024001185793365052108800000000（我們甚至不要嘗試讀取這個數字）。 設定“零”位置的可能性有很多。 這可能很困難。

我們的機器由兩個圓盤組成。 其中一張至今還矗立著，上面寫著字母。 這有點像舊電話上的撥號盤，透過一直轉動撥號盤來撥打號碼。 Rotary 是第二個採用配色方案的。 最簡單的方法是用別針將它們放在普通軟木塞上。 您可以使用薄板或厚紙板代替軟木塞。 Lukasz Badowski 和 Zaslav Adamaszek 建議將兩張光碟放入 CD 盒中。

假設我們想要對單字 ARMATY 進行編碼（米。 2和3). 將設備設置為零位置（向上箭頭）。 字母A對應F，將內部電路向右旋轉一個字母。 我們要對字母 R 進行編碼，現在它對應於 A。在下一次旋轉之後，我們看到字母 M 對應於 U。下一次旋轉（第四張圖）給出了 A - P 的對應關係。在第五個轉盤上我們有 T - A. 最後（第六圈）Y – Y 敵人可能不會猜到我們的 CFCFA 對他來說是危險的。 “我們的”將如何閱讀派遣？ 他們必須有相同的機器，相同的“編程”，即具有相同的排列。 密碼從位置零開始。 所以 F 的值為 A。順時針轉動刻度盤。 字母 A 現在與 R 相關聯。他向右轉動錶盤，在字母 U 下找到 M，等等。密碼員跑向將軍：“將軍，我正在報告，槍來了！”

米。 3.我們的恩尼格瑪紙的工作原理。

米。 3.我們的恩尼格瑪紙的工作原理。

即使是這樣一個原始的謎題，其可能性也是驚人的。 我們可以選擇其他輸出排列。 我們可以——而且這裡有更多的機會——不是定期使用一個“襯線”，而是按照某種每天變化的順序，類似於六邊形（例如，前三個字母，然後七個，然後八個，四個...... ..等等.)。

你怎麼能猜到？！ 然而對於波蘭數學家來說（瑪麗安瑞夫斯基, 齊加爾斯基的亨里克, 埃日·魯茲基）發生了。 透過這種方式獲得的資訊是無價的。 在此之前，他們對我們的國防歷史做出了同樣重要的貢獻 瓦茨拉夫·塞爾賓斯基 i 斯坦尼斯拉夫·馬祖爾科維奇1920年違反了俄羅斯軍隊的守則。 被截斷的電纜使畢蘇斯基有機會在維普日河上進行著名的機動。

我記得瓦克勞·謝爾賓斯基（Waclaw Sierpinski，1882-1969）。 他看起來就像一個數學家，對他來說，外在世界並不存在。 他無法談論他參與 1920 年勝利的事情，無論是出於軍事原因還是……出於政治原因（波蘭人民共和國當局不喜歡那些保衛我們免受蘇聯侵害的人）。

如圖。 4. 排列 (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT)。

米。 5.裝飾性不錯，但不適合加密。 太有規律了。

1工作。 Na 無花果。 4 你有另一種排列來創建 Enigma。 將繪圖複製到靜電複印機上。 建造一輛汽車，對您的名字和姓氏進行編碼。 我的 CWONUE JTRYGT。 如果您需要對筆記保密，請使用紙板恩尼格瑪密碼機。

2工作。 加密你看到的其中一輛“汽車”的名字和姓氏，但是（注意！）還有一個額外的複雜問題：我們不是向右轉一個檔位，而是根據方案 {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - 也就是說，首先是一個，然後是兩個，然後是三個，然後是 2，然後是 1，然後是 2，等等，這樣的“小波” . 確保我的名字和姓氏被加密為 CZTTAK SDBITH。 現在你明白恩尼格瑪機的威力有多大了吧？

解決高中畢業生的問題。 Enigma 有多少個配置選項（在這個版本中，如文章中所述）？ 我們有 24 個字母。 我們選擇第一對字母——這可以在

方法。 可以在以下位置選擇以下對

方法，進一步

ETC。 經過適當的計算（所有數字必須相乘），我們得到

151476660579404160000

然後將該數字除以 12！ （12 階乘），因為可以以不同的順序獲得相同的對。 所以最後我們得到“總”

316234143225，

這個數字剛剛超過 300 億，對於現代超級電腦來說這似乎不是一個大得驚人的數字。 然而，如果我們考慮排列本身的隨機順序，這個數字會顯著增加。 我們也可以想到其他類型的排列。

另請參見：