進入虛幻的數學世界之旅

一個星期三，我在一所電腦科學學院聽完講座和實習後寫了這篇文章。 我為自己辯護，免受對這所學校學生、他們的知識、對科學的態度以及最重要的學習技能的批評。 這……沒有人教他們。

為什麼我這麼防備？ 原因很簡單——我所處的年齡可能還不了解我們周圍的世界。 也許我是在教他們套馬和卸馬，而不是開車？ 也許我教他們用羽毛筆寫字？ 雖然我對一個人有更好的看法，但我認為自己是“追隨者”，但是……

直到最近，在高中時，他們還在談論複數。 就在這個星期三，我回到家，放棄了——幾乎沒有學生知道它是什麼以及如何使用這些數字。 有些人看待所有數學就像一隻鵝在彩繪的門前。 但當他們告訴我如何學習時，我也由衷地感到驚訝。 簡而言之，一節課的每一小時就是兩小時的作業：閱讀教科書、學習如何解決給定主題的問題等。 以這種方式準備後，我們開始練習，在那裡我們改進了一切......令人愉快的是，學生們顯然認為坐在講座中 - 通常是看著窗外 - 已經保證了知識進入頭腦。

停止！ 這就夠了。 我將描述我在與國家兒童基金會的研究員一起上課時收到的一個問題的答案，該基金會是一個支持全國各地有才華的兒童的機構。 問題（或更確切地說是提案）是：

— 你能告訴我們一些關於虛數的事情嗎？

「當然，」我回答。 

數字的真實性

畢達哥拉斯說：“朋友是另一個我，友誼是數字220和284的比。” 這裡的重點是，數字220的約數總和等於284，而數字284的約數總和等於220：

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284。順便請注意，聖經中的雅各送給以掃220 隻綿羊和公羊作為友誼的象徵（創世記32:14）。

數字220 和284 之間另一個有趣的巧合是：十七個最高質數是2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 ，和59。

它們的和是 2x220，平方和是 59x284。

第一的。 沒有“實數”的概念。 這就像在讀了一篇關於大象的文章後，你問，“現在我們要問非大象。” 有整體和非整體，有理性和非理性，但沒有不真實。 具體來說： 不真實的數字不稱為無效數字。 數學中有很多種“數字”，它們之間的差異就像動物學上的大象和蚯蚓一樣。

其次，我們將執行您可能已經知道被禁止的操作：對負數求平方根。 好吧，數學將克服這些障礙。 這有意義嗎？ 在數學中，就像在任何其他科學中一樣，一種理論能否永遠進入知識寶庫取決於……它的應用。 如果它沒用，那麼它最終會進入垃圾桶，然後進入知識史的一些垃圾。 沒有我在本文末尾談到的數字，就不可能發展數學。 但是，讓我們從一些小事開始吧。 什麼是實數，你知道的。 它們密集且沒有間隙地填充數軸。 你也知道什麼是自然數：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - 他們都不適合記憶再偉大。 它們還有一個美麗的名字：自然。 它們有很多有趣的特性。 你覺得怎麼樣：

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

「對自然數感興趣是很自然的，」卡爾·林登霍爾姆說，利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker，1823-1891）簡潔地說：「上帝創造了自然數——其他一切都是人類的工作！” 分數（數學家稱為有理數）也具有驚人的特性：

並且平等地：

你可以從左側開始，擦掉加號並用乘號替換它們 - 並且等式將保持不變：

等。

眾所周知，對於分數 a/b，其中 a 和 b 是整數且 b ≠ 0，他們說 有理數。 但他們只在波蘭語中這樣稱呼自己。 他們說英語、法語、德語和俄語。 有理數。 英文：有理數。 無理數 這是不合理的，不合理的。 我們也用波蘭語談論非理性的理論、想法和行為——這是瘋狂的、想像的、無法解釋的。 他們說女人怕老鼠──這有多不合理？

在古代，數字是有靈魂的。 每個都意味著某種東西，每個都像徵著某種東西，每個都反映了宇宙和諧的一個粒子，即希臘語中的“宇宙”。 「宇宙」這個字本身的意思是「秩序，秩序」。 最重要的是六（完美數字）和十，連續數字1+2+3+4的總和，由其他數字組成，其像徵意義一直延續到今天。 所以畢達哥拉斯教導說，數字是一切的開始和源泉，只有發現 無理數 將畢達哥拉斯運動轉向幾何。 我們從學校知道的推理是

√2 - 無理數

假設有： 且這個分數不能減少。 特別是，p 和 q 都是奇數。 讓我們平方：2q²=p²。 數字 p 不能是奇數，因為那時 p² 是一樣的，但是等式左邊有2的倍數。這表示p是偶數，即p = 2r，這表示p²= 4 年²。 讓我們簡化方程式 2q²= 4 年² 乘以 2，我們得到 q²= 2 年² 我們發現 q 也必須是偶數，但我們假設它不是偶數。 由此產生的矛盾完成了證明 - 這個公式經常可以在每本數學書籍中找到。 這種間接證明是詭辯家最喜歡的把戲。

畢達哥拉斯學派無法理解這種巨大性。 一切都必須能夠用數字來描述，而任何人都可以用一根棍子在沙子上畫出的正方形的對角線沒有，即，可測量的長度。 畢達哥拉斯學派似乎在說：「我們的信仰是徒勞無功的」。 為何如此？ 這有點……不合理。 聯盟試圖透過宗派手段來拯救自己。 任何敢於暴露自己存在的人 無理數，就是要被處以死刑，而顯然，第一句話是由主人親自執行的。

但“這個想法毫髮無傷地過去了。” 黃金時代已經來臨。 希臘人擊敗了波斯人（馬拉松 490，普拉切 479）。 民主得到加強，新的哲學思想中心和新學派出現。 畢達哥拉斯學派的追隨者仍在與無理數奮戰。 有些人說：我們不會明白這個奧秘； 我們只能沉思並欣賞《神秘海域》。 後者更務實，不尊重秘密。 當時，出現了兩種使理解無理數成為可能的心理結構。 我們今天能很好地理解它們的事實屬於歐多克索斯（公元前XNUMX世紀），直到XNUMX世紀末，德國數學家理查德·戴德金才按照嚴格的數理邏輯的要求對歐多克索斯的理論進行了應有的發展。

大量的數字或折磨

沒有數字你能活嗎？ 就算生活會怎樣……我們也得去商店買鞋，用一根棍子，我們以前量過腳的長度。 “我要蘋果，啊，給了！” – 我們會在市場上展示賣家。 “從 Modlin 到 Nowy Dwur Mazowiecki 有多遠”？ “八九不離十！”

數字是用來衡量的。 在他們的幫助下，我們還表達了許多其他概念。 例如，地圖的比例尺顯示了該國面積減少了多少。 二比一的比例，或簡稱為 2，表示某物的大小已經增加了一倍。 讓我們從數學上來說：每個同質性都對應一個數字——它的尺度。

任務。 我們製作了一份靜電複印副本，將影像放大了數倍。 然後將放大後的片段再次增加b倍。 一般放大倍率是多少？ 答案：a × b 乘以 b。 這些尺度需要相乘。 數字減一，-1，對應於居中的一個精度，即旋轉 180 度。 什麼數字對應 90 度旋轉？ 沒有這樣的數字。 是的，是的……或者更確切地說，很快就會了。 你準備好接受精神折磨了嗎？ 勇敢地取負一的平方根。 我在聽？ 你不能做什麼？ 畢竟，我告訴過你要勇敢。 拉出來！ 嘿，好吧，拉，拉...我來幫忙...這裡：−1 現在我們有了它，讓我們嘗試使用它...當然，現在我們可以對所有負數求根，因為例子。：

√-4 = 2√-1, 🇧🇷-16 = 4√-1

“不管它帶來的精神痛苦。” 這就是 Girolamo Cardano 在 1539 年寫的，試圖克服與 - 很快被稱為 - 相關的精神困難 虛數。 他是這樣想的…

...任務. 把10分成兩部分，乘積是40。我記得上一集他是這樣寫的：當然不可能。 然而，讓我們這樣做：將 10 分成兩個相等的部分，每個部分等於 5。將它們相乘 - 結果是 25。從所得的 25，現在減去 40，如果你願意，你會得到 -15。 現在看：√-15 加減 5 得到 40 的乘積。這些是數字 5-√-15 和 5 + √-15。 卡爾達諾對結果進行瞭如下驗證：

“不管它帶來多少心痛，將 5 + √-15 乘以 5-√-15。 我們得到 25 - (-15)，等於 25 + 15。所以，乘積是 40 .... 這真的很難。”

那麼，它是多少：(1 + √-1) (1-√-1)？ 讓我們乘以倍數。 請記住 √-1 × √-1 = -1。 偉大的。 現在更難的問題：從a + b√-1到ab√-1。 發生了什麼事？ 當然，像這樣：(a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

這有什麼有趣的？ 例如，我們可以分解我們「以前不知道」的表達式。 縮寫乘法公式²-b² 你可能還記得這個公式²+b² 它沒有發生，因為它不可能發生。 在實數域中，多項式²+b² 這是不可避免的。 讓我們用字母 i 來表示「我們的」「減一」的平方根。²= -1。 這是一個「不真實的」素數。 這是飛機旋轉 90 度的描述。 為什麼？ 畢竟，²= -1，並且將一個 90 度旋轉和另一個 180 度旋轉結合起來得到 45 度旋轉。 描述的是什麼類型的旋轉？ 明顯是XNUMX度轉彎。 -i 是什麼意思？ 這有點複雜：

（-我）² = -i × (-i) = + i² = -1

所以-i也描述了90度旋轉，只是與i的旋轉方向相反。 哪一個是左邊，哪一個是右邊？ 您必須預約。 我們假設數字 i 指定沿著數學家認為正的方向旋轉：逆時針。 數字 -i 描述指針移動方向的旋轉。

但是有像 i 和 -i 這樣的數字嗎？ 是！ 我們只是讓它們栩栩如生。 我在聽？ 它們只存在於我們的腦海中？ 那麼會發生什麼事？ 所有其他數字也只存在於我們的腦海中。 我們需要看看我們的新生兒能否存活下來。 更準確地說，設計是否合乎邏輯，它們對某些事情有用嗎？ 請相信我的話，一切都很好，這些新數字確實很有幫助。 像 3+i、5-7i 這樣的數字，以更一般的形式：a+bi 稱為複數。 我向您展示瞭如何透過旋轉飛機來獲得它們。 它們可以以不同的方式輸入：作為平面上的點、作為某些多項式、作為某些數值數組......並且每次它們都是相同的：方程式 x² +1=0 沒有元素...hocus pocus 已經存在!!!! 讓我們歡欣鼓舞吧！！！

遊覽結束

我們對假數位之地的第一次遊覽到此結束。 在其他神秘的數字中，我還會提到那些前面有無限多個數字而不是後面的數字（它們被稱為10-adic，對我們來說p-adic 更重要，其中p 是素數），例如X = …………96109004106619977392256259918212890625

請我們數一下X²。 因為？ 如果我們計算後面有無限位數的數字的平方怎麼辦？ 好吧，我們也這樣做吧。 我們來看看X² = H。

讓我們找出另一個這樣的數字，前面有無數位數字滿足方程式。 提示：以六結尾的數字的平方也以六結尾。 以 76 結尾的數字的平方也以 76 結尾。以 376 結尾的數字的平方也以 376 結尾。以 9376 結尾的數字的平方也以 9376 結尾。以 XNUMX 結尾的數字的平方... 還有一些數字非常小，即使它們是正數，它們仍然小於任何其他正數。 它們是如此之小，有時只需將它們平方即可得到零。 有些數字不符合條件 a × b = b × a。 也有無數個。 自然數有幾個？ 無窮多個？ 是的，但是多少錢？ 這可以用什麼數字來表示？ 答案：無限數中最小的一個； 它標有一個漂亮的字母：A，並輔以零索引 A₀ ，阿萊夫-零。

還有一些我們不知道存在的數字……或者我們可以相信或不相信，隨便你。 說到這裡：我希望你仍然喜歡《虛幻數字》、《幻想物種數字》。