為什麼我們不除以零呢？
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讀者可能想知道為什麼我要用整篇文章來討論這樣微不足道的問題？ 原因是數量驚人的學生（！）不小心執行了所調用的操作。 不僅僅是學生。 有時我也抓老師。 這樣的老師的學生在數學上能做什麼呢？ 寫這篇文章的直接原因是與一位老師的對話，對他來說除以零不是問題...
零，是的，除了麻煩之外什麼都沒有，因為我們在日常生活中並不真正需要使用它。 我們不會去商店買零雞蛋。 「房間裡有一個人」聽起來有點自然，但「零人」聽起來很不自然。 語言學家說零在語言系統之外。
我們也可以在銀行賬戶中不使用零：只需使用 - 就像在溫度計上一樣 - 紅色和藍色表示正值和負值（請注意，對於溫度，使用紅色來表示正數是很自然的，而對於銀行賬戶，它是反之，因為藉記應該觸發警告，所以強烈推薦紅色）。
透過將零作為自然數，我們觸及微分問題 基數 od 家庭。 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、……以內
數字的冪與其所在位置的數字一致。 否則它已經在序列 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. 中。
單例集合的數量排在第二位，具有兩個元素的集合的數量排在第三位，依此類推。 我們必須解釋為什麼，例如，我們不從頭開始對運動員在比賽中的名額進行編號。 然後第一名獲得銀牌（金牌歸零名），依此類推。在足球中使用了類似的程序——不知道讀者是否知道“league one”是“league one”的意思跟隨最好的。” ”，而零級聯賽則被稱為“大聯盟”。
有時我們會聽到我們需要從頭開始的說法，因為這對 IT 人員來說很方便。 繼續這些考慮，一公里的定義應該改變——它應該是 1024 米，因為這是一千字節中的字節數（我將參考計算機科學家知道的一個笑話：“新生和新生有什麼區別？計算機科學專業的學生和該學院的五年級學生？一千字節是 1000 千字節，最後一公里是 1024 米”）！
另一個應該認真對待的是：我們總是從頭開始測量！ 只要看一下尺、家用秤、甚至手錶上的任何刻度即可。 由於我們是從零開始測量的，而計數可以理解為無量綱單位的測量，所以我們應該從零開始計數。
這是一件簡單的事情，但是…
讓我們離開一般推理並返回除以零。 事情很簡單，要不是為了……那又怎樣？ 讓我們思考並嘗試。 它可以是多少——一除以零？ 讓我們看看：1/0 = x。 兩邊乘以左邊的分母。
我們得到1=0。 有什麼不對！ 發生了什麼事？ 啊，一個猜測！ 一和零有商的假設會導致矛盾。 如果一個數不能被零整除，那麼另一個數可以被整除。 讀者，如果您聳聳肩並想知道為什麼作者（即我）會寫出如此平庸的內容，那麼……我非常高興！
公式 0/0 = 0 可以頑固地爭論，但它與數字除以自身的結果等於 0 的規則相矛盾。 完全不同的是數學分析中的0/XNUMX、°/°等符號。 它們並不表示任何數字，而是某些類型的特定序列的符號名稱。
我在一本電機工程書中發現了一個有趣的比較：除以零和高壓電一樣危險。 這是正常的：歐姆定律規定電壓與電阻之比等於電流：V = U/R。如果電阻為零，理論上無限量的電流將流過導體，燒毀所有可能的導體。
我曾經寫過一首關於被零除的危險的詩——一週的每一天。 我記得最戲劇性的一天是星期四，但我對我在這方面的所有工作感到抱歉。
當你除以零時
星期一很早
剛剛發生的一周
你已經完全不成功了。
週二下午的時候
你在分母中填了一個零
那我告訴你，你錯了
我的壞數學家！
當穿越零，穿越乖僻，
你想在周三分享嗎？
你會遇到很多麻煩
你腦子裡有乾草和水！
一位名叫巴特克的人和我們在一起。
他違反了規則。
週四它除以零。
他已經不再是我們之間的人了！
如果一種奇怪的慾望佔據了你，
週五除以零
我就直接、誠實地說：
這個週末的開始很不好。
當它達到零時，週六的某個時候
分隔線將是你的（不是粗體）
跪在教堂的圍欄下。
這是你主日的悔改。
您想在破折號下方加一個零嗎？
把假期定在周日
帶上粉筆、黑板。
寫：它不能被零整除！
零與空虛和虛無相關。 事實上，它在數學中是作為一個量添加到任何值時都不會改變它：x + 0 = x。 但現在零出現在其他幾種意義中，最引人注目的是 規模開始. 如果窗外既沒有正溫度也沒有霜，那麼……這是零，並不代表完全沒有溫度。 零級碑，不是拆了很久，根本不存在的。 相反，它有點像瓦維爾、埃菲爾鐵塔和自由女神像。
好吧，零在位置系統中的重要性怎麼強調都不為過。 讀者，你知道比爾蓋茲的銀行帳戶裡有多少個零嗎？ 我不知道，但我想要一半。 顯然，拿破崙·波拿巴注意到人們就像零：他們透過位置獲得意義。 在安傑伊·瓦依達（Andrzej Wajda）的電影《歲月如梭》中，充滿激情的藝術家傑西爆發了：“非利士人是零，虛無，虛無，虛無，虛無，零。” 但零也可以是好事：「零偏離常態」意味著一切進展順利，並保持這種狀態！
讓我們回到數學。 零可以毫無顧忌地加、減、乘。 「我的體重增加了零公斤，」曼雅告訴安雅。 「這很有趣，因為我減掉了同樣的體重，」安雅回答。 所以我們吃六次零份冰淇淋六次吧，不會對我們造成傷害。
我們不能除以零，但我們可以除以零。 一盤零餃子可以輕鬆傳遞給等待食物的人。 每人會收到多少？
零既不是正數也不是負數。 這是號碼 非積極的и 非負數。 它滿足不等式x≥0 和x≤0。 “積極的東西”的矛盾不是“消極的東西”，而是“消極的東西或等於零”。 與語言規則相反，數學家總是會說某物是「零」而不是「零」。 為了證明這種做法的合理性，我們有：如果我們讀到公式x = 0“x 等於1”，那麼x = 1534267 我們讀到“x 等於一”，這可能會被吞掉，但是“x = 0”呢？ ？ 您也不能為字元 XNUMX 分配數值0也不將零提高到負數。 另一方面，你可以隨意求根零...結果將永遠為零，
指數函數 y = ax，a 的正基數永遠不會變成零。 由此可見不存在零對數。 事實上，a 以 b 為底的對數是一個指數，必須將底數提高到該指數才能得到 a 的對數。 當 a = 0 時，沒有這樣的指標，且零不能作為對數的底。 然而，牛頓符號「分母」中的零卻是另一回事。 我們假設這些協議不會導致矛盾。
虛假證據
除以零是錯誤證明的常見主題，即使是經驗豐富的數學家也會遇到這種情況。 讓我舉兩個我最喜歡的例子。 第一個是代數的。 我將「證明」所有數字都是相等的。 假設有兩個數不相等。 因此，其中一個大於另一個，令a > b。 讓我們假設 c 是它們的差
c \uXNUMXd a - b。 所以我們有 a - b = c，因此 a = b + c。
我們將後者的兩部分乘以 a - b：
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc。
我將 ak 移到左側，當然我記得符號的變化：
a2 – ab – ac = ab – b2 – bc。
我排除了共同因素：
A(a-b-c) = b(a-b-c),
我正在分享，我有我想要的：
a = b。
實際上更奇怪的是，因為我假設 a > b，並且我得到 a = b。雖然在上面的例子中“作弊”很容易識別，但在下面的幾何證明中卻並不那麼容易。 我會證明...梯形不存在。 通常稱為梯形的圖形並不存在。
但我們先假設有梯形這樣的東西（下圖的ABCD）。 它有兩個平行的側面（“底座”）。 讓我們擴展這些底，如圖所示，這樣我們就得到一個平行四邊形。 它的對角線將梯形的另一條對角線分成長度指定為 x、y、z 的線段，如下所示 里斯庫諾克 1。 根據對應三角形的相似度，我們得到比例：
從那裡我們確定：
歐拉茲
從那裡我們確定：
減去標有星號的等式兩邊：
將兩邊都縮短 x − z，我們得到 – a/b = 1，這意味著 a + b = 0。但是數字 a、b 是梯形底邊的長度。 如果它們的總和為零，那麼它們也為零。 也就是說，像梯形這樣的圖形是不可能存在的！ 由於矩形、菱形和正方形也是梯形，那麼，親愛的讀者，也沒有菱形、矩形和正方形......
像那樣
分享是四種基本活動中最有趣和最具挑戰性的。 在這裡，我們第一次遇到成年人常見的現象：“猜答案，然後檢查你是否猜對了。” Daniel K. Dennett 說得非常準確（“如何犯錯？”，《How It Is - A Scientific Guide to the Universe》，CiS，華沙，1997 年）：
這種「猜測」的方法並不會幹擾我們成熟的生活——也許是因為我們學得早，猜測並不難。 從意識形態上來說，同樣的現像也發生在數學（完全）歸納法。 在那裡我們“猜測”公式，然後檢查我們的猜測是否正確。 學生總是問：「我們怎麼知道這個模式？ 我怎樣才能把它拿出來？” 當學生問我這個問題時，我把他們的問題變成一個笑話：“我知道這一點是因為我是專業人士，因為我是受僱知道這一點的。” 在學校的學生也可以用同樣的方式回答，只是更認真。
演習。 請注意，我們從低階單元開始加法和乘法，並從高階單元開始寫除法。
兩種想法的結合
數學老師總是指出，我們所說的成年期的分裂是兩個概念上不同的想法的結合： 住房 i 分離.
其中第一個（住房）發生在原型為以下情況的問題：
分割-分割 這些任務例如：
？ （我們保留了這個問題的原始風格，取自 Julian Zgozalewicz 於 1892 年在克拉科夫出版的手冊 - zloty 是萊茵茲羅提，直到 XNUMX 世紀初在奧匈帝國流通的貨幣）。
現在考慮兩個問題 最古老的波蘭數學教科書托馬斯·克洛斯 (Tomasz Klos) 神父 (1538)。 這是部門還是轎跑車？ 依照適合二十世紀小學生的方式來解決這個問題：
（波蘭語到波蘭語的翻譯：一桶一夸脫和四個壺。一壺是四夸脫。有人以 20 zł 的價格購買了 50 桶葡萄酒進行貿易。關稅和稅收（消費稅？）將是 8 zł。多少錢賣一夸脫賺 8 茲羅提？）
體育、物理、一致性
有時在運動中你必須將某些東西除以零（目標比率）。 好吧，法官們以某種方式處理它。 然而，在抽象代數中，它們已被提上議程。 非零數量其平方為零。 這甚至可以簡單地解釋。
考慮一個將點 (y, 0) 分配給平面 (x, y) 上的點的函數 F。 什麼是F2，即 F 的雙重執行？ 零函數 - 每個點都有一個圖像 (0,0)。
最後，平方為 0 的非零量幾乎是物理學家的日常麵包，其形式為 a + bε，其中 ε ≠ 0，但 ε2 = 0，數學家稱 雙數。 它們存在於數學分析和微分幾何中。
畢竟，算術中有一些東西至少在名義上是被零除的。 這來自 一致. 設 Z 表示整數集。 將集合 Z 除以 p 意味著我們將每個數（整數）等同於其他一些數，即，等於它們的差值可被整除的那些數。 所以，當我們有五種數字分別對應數字 0, 1, 2, 3, 4 - 除以 5 可能的餘數。公式寫成這樣：
mod 當差值是倍數時。
當 = 2 時，我們只有兩個數字：0 和 1。將整數分成這樣的兩個類別相當於將它們分為偶數和奇數。 我們現在就更換它。 差值總是可以被 1 整除（任何整數都可以被 1 整除）。 我們可以取=0嗎？ 讓我們來試試：兩個數之差什麼時候是零的倍數？ 僅當這兩個數字相等時。 因此，將一組整數除以零是有意義的，但這並不有趣：什麼都沒有發生。 但要強調的是，這並不是小學意義上的數除法。
此類行為是被禁止的，長而廣泛的數學也是。
米。 2. 透過比較來識別數字
（樹 5 和樹 2）
