如何欺騙、操縱並以有利的方式展現數學的偉大？

2020 年 5000 月初，Mateusz Morawiecki 提到數學建模中心的數學家，他們表明婦女罷工導致感染增加了 XNUMX 人。我在這個中心有朋友——他們只是從- 先生對 Mateusz 的講話。

我想強調的是，也許與文章的標題相反，我既不會讚揚也不會批評現任總理。 我覺得 數學 不是他的強項，但這樣的智力缺陷不會引起你們大多數人的反對。 總的來說，一個偉大的數學家不會身居要職，但在生活和政治上卻不明智嗎？ 我還要提到的是，唐納德·圖斯克 (Donald Tusk) 在他的前任總統競選活動中說（好像開玩笑似的）：“不下載就無法參加數學考試。” 你知道，數學云是你的人，就像我一樣。 朱利安·圖維姆 (Julian Tuwim) 對自己對數學的無知感到勢利。 他們叫我去董事會。 我只會注意到我們在波蘭舉行了數學首映式。 是（五次）Kazimierz Bartel，1882-1941，利沃夫理工學院院長，優秀的幾何學家。 我不能也不會試圖評判他的統治。

擦嘴是一種普遍而古老的做法。 關於這一點的書籍已經寫得有薄有厚。 有很多方法，我會告訴你一些，我將從那些用粗線縫製的開始。 也許過去有更多這樣的方法，因為在具有里程碑意義的首部波蘭語詞典中 塞繆爾·博古米爾·林德 （出版於 1807-1814 年）我們讀到：

數學家，數學數學家，數學魔術師。

我們不知道最簡單的動作，但我們真的很想證明自己。 幾年前，一位來自奧爾什丁的記者寫了一篇關於製造商如何欺騙我們的長篇報導。 例如：在一包黃油上寫著“脂肪含量 85%”——85% 是立方體還是千克？ 整個波蘭都在嘰嘰喳喳。 但只有聰明的數學老師（即所有數學老師！）在多年前註意到我們的一位前總理 Kazimir Martsinkevich 的推理中的錯誤。 我將稍微更改數字以使其更易於查看。 他是這樣說的：我們在道路建設上花費了 150 億茲羅提，從布魯塞爾收到了 50 萬茲羅提，所以我們只花 100 茲羅提。我們節省了 50%。 嗯，50/100 是 50%。 錯誤在哪裡？ 如果我們有一個億，我們會存多少錢？ 錯誤是微妙的。 說到百分比，重要的是要弄清楚我們從哪裡得到它們。 這是老師常犯的錯誤。 他們說百分比是百分之一。 這是不允許的！ 百分之一百，但它總是一些東西。 如果我們花100，花150，我們存了100中的50，也就是150%。 Martsinkevich 總理是一位物理老師。 要么他是個糟糕的老師，連百分比都不懂，要么他故意操縱它們以獲得最好的政治效果。 我實際上更喜歡後者。 讓我提醒您一個非常古老的戰前軼事。 “爸爸，我今天省了 33 美分！” “這很好，兒子！ 如何？ “我沒坐電車去學校，我是追著它跑的！” “啊，兒子，再跑一次出租車——你可以省 20 茲羅提！”

想法，想法！ 大多數所謂創意會計的想法都是基於法律漏洞（寫在膝蓋上的法律=廢話），並且被平均概念所迷惑。 舉個例子：如何提高每個人的薪資，同時降低平均薪資？ 很簡單：對已經就業的人進行小額加薪，同時僱用大量低薪人員。 平均值將會下降…在這個問題的情況下，沒有人談論全球工資基金。 據稱，直到1989年，某國企董事就有這樣的行為。

你可以直接戰鬥，利用社會上很多人的數學文盲，把數學（??）和文學（??）結合起來。 這是一篇煽動性但虛構的文本（雖然基於真實的出版物，2010 年之前供參考）。

護士的待遇會更好。 兩年前，索哈切夫縣護士的平均淨工資為 1500 茲羅提。 去年，政府將醫療保健支出增加了 XNUMX 億茲羅提。 這將是往年的兩倍。 赫爾梅內吉爾達·科秋賓斯卡婭中央臨床醫院的一名護理師說：我上個月的薪水是4500茲羅提。 這意味著醫療保健收入將大幅增加三倍。

真的沒有人可以欺騙嗎？ 即使數字相同，你也可以看到我們在這裡進行比較 平均薪資 在省立醫院，一個月的薪水是一個人。 也許赫梅尼吉爾達是護士長，也許她這個月加班很多，而且，中區醫院有特殊的薪資標準？ 此外，上述1500茲羅提為淨工資，並沒有說明Kociubinska女士的薪水是淨工資還是毛工資。 500億對個人來說是一個巨大的數字，但是對於國家層級來說這意味著什麼呢？ 讓我們立即註意到，「500 億」聽起來比「500 億」更好。 目前尚不清楚這 XNUMX 億茲羅提的用途。 不知道為什麼一千萬茲羅提是兩倍。

我怎樣才能提高我的學業成績？ X 學校因教育成績低（即 ​​GPA 低，儘管這是不同的事情！）而受到教育當局的批評。 校長找到了一個稍微改善這種情況的方法。 他將幾個學生從A班提拔到B班，並達到了他的目標：兩個班的平均成績都有所提高。

這怎麼可能？ 如果A班有學生的GPA低於A班平均分數但高於B班平均分，那麼把他調到B班也會有同樣的效果。 信仰是建立在這種效果的基礎上的 梅希斯拉夫·楚馬 i 萊謝克·馬贊加利西亞百科全書（克拉科夫Anabasis出版社）的作者指出，在西吉斯蒙德三世·瓦薩和他的宮廷遷往華沙的那天，這兩個城市的平均智力水平都有所提高。

我們傾向於解釋數據。 這是最常見的非基本伸展。 我將從最愚蠢但最可靠的例子開始。 許多很多年前，現已不存在的 Express Wieczorny 報道稱，華沙大學的平均薪資為 15000 24 茲羅提（當時的茲羅提）。 校長本來薪水最高是6，助理起薪最低是15。平均是三千！！！ 操縱 平均的概念是一個適應訓練的主題。

這裡還有兩個例子。 你知道波蘭人平均只有不到兩條腿嗎？ 嗯，是的：有人擁有一個，但沒有人擁有三個！ 第二個例子更微妙。 好吧，我和我的妻子都有自己的車。 我的運輸車耗油量很大，每 12,5 公里 100 升。 這意味著 100 公里我需要 8 升。 我妻子有一輛小型三菱汽車 - 每 8 公里耗油 100 升。 這也是很多，但是為了計算簡單，需要對數據做一些處理。 我們經常騎同一輛車。 所以我們兩輛車的平均油耗是8和12,5的算術平均值。 加起來，除以 2，結果是 10,25 升。 當然，重要的是我們經常以相同的方式騎行。 那麼操縱的範圍在哪裡呢？

哦，在這裡。 您知道美國的燃油經濟性計算方式不同嗎？ 他們會回答：“一加侖可以行駛很多英里。” 讓我們把加侖換算成升，英里換算成公里，把它應用到上述汽車上：我的和我們婚姻的唯一監督委員會。 我一公升只能行駛 8 公里（100 除以 12,5），我妻子則行駛 12,5 公里（100 除以 8）。 平均而言，一公升將需要我們…這些數字的算術平均值。 我們已經計算過一次了。 結果是 10 又四分之一 - 這次是 10,25 公里。

讓我們回到歐洲標準。 如果我用一升油行駛 10,25 公里，那麼 100 升油需要多少升？ 讓我們用一個計算器：100 除以 10,25 是... 9,76。 我們汽車的平均油耗是 9,76 ……而在那之前是 10,25。 錯誤在哪裡？ 不！ 其實，不是在數學上，而是在對“我們同樣經常旅行”這句話的解釋上。 仔細分析就會發現，在第一種解釋中，這意味著“我們每個月行駛的公里數相同”，而在第二種解釋中，“我們使用的汽油量相同”。 可以添加第三個變量：我們花相同的時間開車（妻子開得更快）……而且會有所不同。 如果我們要測量某物，就必須有捲尺。

更微妙的情況。 辛普森悖論。 讓我們探討什麼可以更好地去除頭皮屑：可口可樂還是百事可樂。 我們對女性和男性進行測試。 這是數據。 幾乎所有的計算都可以在記憶體中完成。

讀者請坐。 只為不讓自己從感情中走出來。 哪種飲料最適合男性去除頭皮屑？ 我將較大的數字標記為紅色，較小的數字標記為藍色。 25比20還多，不是嗎？ 先生們：去頭皮屑就買可口可樂吧！ 那麼女性呢？ 也許反過來？ 不，60>53。女士們，喝可口可樂。

該公司在電視上購買廣告，一對幸福的夫婦（以老式的方式：一男一女）在可口可樂的幫助下擺脫了這種小病。 但有百事可樂的廣告。 嗯，因為這裡和這裡都有 250 人參加測試，這意味著人數相等。 可口可樂幫助了 80 人（32%），百事可樂幫助了 100 人（40%）。 螢幕上，一群人在甩掉頭皮屑，而一罐百事可樂則在鏡頭前滾動。 “我們這一代已經選擇了！”

錯誤在哪裡？ 不。 我的意思是，數學很好。 或者更確切地說，只是 算術。 為了在數學上正確，我們必須採用 M 與 K 比例相同的可比較樣本。否則計算就沒有意義，就像我們計算蚊子和大象的平均重量一樣。 我們可以加和除以二。 我們計算了什麼？ 嗯，蚊子和大象的平均重量。 這會帶給我們什麼？ 一根線。

但讓我們把這個話題轉移到政治上，當然在美國。 邦普說，其中一位候選人的支持者會哭泣：我們對女士和先生都更好。 投票給約瑟夫·波德斯科克！ Triden 的支持者會在橫幅上寫下：我們在世界各地都更好。 投票給 3 旦鴨子（唐納德）。

好吧，真的怎麼樣？ 這是最難的部分。 “真的”是什麼意思？ 我們可以說：“真實就是符合現實的東西”。 然而，另一個問題出現了：如何衡量“與現實的對應”？ 但這已經不是數學了，我願意堅持下去，因為只有在這裡我才有信心。

關於這個悖論（稱為 辛普森一家悖論) 是基於很多很多其他的。 它在數學中為人所知已有一百年，但（相對）最近社會科學對它產生了興趣。 這一切都始於這樣一個事實，即在一所美國大學，校長注意到女生的錄取率遠低於男生。 她向院長們要了報告……結果發現，在每個院系中，女生的錄取與候選人比例都高於男生——而且恰恰相反。 我建議讀者將百事可樂和可口可樂的例子改寫到大學院系的情況。

更微妙的情況。 數學界的每個人都知道“內布拉斯加州的例子”。 在內布拉斯加州的某個地方，一家商店被洗劫一空，收銀機也被搶劫。 目擊者只記得這是一對奇怪的夫婦幹的：一個留著鬍子的黑皮膚男人和一個有東方特徵的女人。 他們開著一輛黃色的豐田車離開了（輪胎像電影裡一樣發出刺耳的聲音）。 幾個小時後，警方扣留了……一輛黃色豐田，車內有一名留著鬍子的非裔美國人，旁邊還有一名亞裔女性。 “是你！”。 手銬, 法院. 一位經驗豐富的數學家計算出這樣的一組（黑人+亞洲人+黃色豐田）如此獨特以至於99,999%的劫匪都是通緝犯。 他把背下來的術語扔到大廳裡：基本事件、伯努利圖、合取。 夫妻倆去坐了。 然而，他們聘請了最好的數學家，他在呼籲中說：“好。 你自己判斷吧，我的前輩計算過，隨機遇到一輛載有兩名乘客的汽車是黃色豐田黑色豐田日本女人的概率是這樣的。 但是這裡我們需要解決另外一個問題，條件概率。 如果我們知道這樣的一對已經存在，那麼遇到另一對（或三個，如果你打開機器）的概率是多少。 »

我們不知道法官是否理解其中的任何論點。 也許答案只是取決於情況的選擇。 這就足夠了。 他推翻了判決。

用柱子擊中頭部。 我們一直在對待這種煽動行為（1）。

酒吧很糟糕：煤炭價格翻了一番。 看看這些數字就令人鼓舞：它們確實從每噸 161 茲羅提增加到了 169 茲羅提（練習：百分比是多少？）。 但由於大多數人都是視覺學習者，他們會記住圖表，而不是數字。 在不涉及政治討論的情況下，我必須說政府使用了類似的方法（2020 年夏天的方法），增加了癌症的支出。 這並不是對本屆政府的批評。 下一篇也將使用這個方法。 它是安全的並且具有立竿見影的（“可見的”）效果。

我們戴上口罩吧。 流行病傳播的規律很簡單，而且“本身”是無情的。 感染者的數量增長得更快，已經存在的人數越多。 雪崩就是這樣發生的。 數學就是這麼說的。 然而，有一個很大的“但是”——也許不止一個。 首先，它是這樣的，而“什麼也沒有發生”。 當森林中的雪崩停止時，當流行病因我們所有人的明智行為而減緩時，我們與其說是“感謝”數學，不如說是創造了一個不同的模型。 是的，一個不同的數學模型（如內布拉斯加州商店搶劫案的例子）。 數學，一門美麗的科學，只有助於認識世界。 這麼多，但只有這麼多。 讓我們看看：我們用一根桿子跳了將近六米，沒有它我們連 2,50 米都跳不了。 然後拿起手中的竿子跳下去。 他真是個討厭鬼，不是嗎？

使用 社會科學中的數學 這是困難、危險的，甚至更糟的是，充滿誘惑的。 塔特拉(Tatra) 鑑賞家將它與德雷格(Drege) 峽谷聯繫在一起：從石榴石(Garnet) 到喬爾尼斯塔夫(Chorny Stav) 的一條平緩、長滿青草的下坡…從上面看，它就是這個樣子。 很快，峽谷就變成了陷阱，只有塔特拉志工救援服務中心 TOPR 才能拯救我們。

數學家將這種雪崩和流行病的增加稱為指數增長。 正如我已經寫過的，這種成長可以被抑制，但不能再被抑制。 但是，讓我們來看看同一曲線的兩個圖表（只是比例不同）。 對於那些理解的人來說，這是該函數的公式：y = 2^x兩個給權力。 請查看圖表。 什麼時候成長會迅速加速？ 每個都會指示：這或多或少接近大點標記的點。 但在第一張圖中，該值接近 1,5，在第二張圖中，該值大於 3，在第三張圖中，該值是 4,5。 如果那時有一些街頭示威，那麼我們可以說：好吧，拜託，從示威那一刻起，曲線就上升了，急劇上升了。 數學的偉大！ 這只是指數曲線的一個特性。 可以自由選擇適當的比例和快速加速開始的點（2）。

總統選舉……當然是在美國。 我們還記得2020年1月的那場鬧劇。 這個仍然是第一大國的國家未能跟上頁數的成長。 最後發現 喬·拜登 他不僅贏得了更多的選舉人票，而且如果決定以簡單多數通過，他本可以獲勝。 在我將要描述的情況下，沒有數學運算 - 只是選舉結果如何取決於通過的決議的一個例子。 如果你知道，就很難抗議。 足球中的後衛可能會認為手球禁令是錯誤的，但如果無視，就會判罰點球。

想像以下人員正在競選希臘總統： 阿波羅尼烏斯, 歐幾里得, 蒼鷺, 畢達哥拉斯 i 這樣。 無論選民選擇誰，都將成為總統。 他們有100名，他們是透過普選產生的，然後由議會中代表的政黨，即馬克西穆斯競技場，確定他們的偏好順序。 出了點問題，因為 Circus Maximus 是一個拉丁名字，而不是希臘名字。 但我們不要爭論消息來源。

誰將成為總統？ 讓我們看看這如何取決於排序。 一個政黨的偏好應該這樣理解：其選民投票給下一輪選舉後剩餘選舉名單中的第一個人。

1. 如果裁決規定獲得最多選民的候選人首先獲勝，畢達哥拉斯將獲勝，因為他將由 25 + 9 = 34 名選民當選。 例如，當我們選擇最好的學生時，這就是學校中發生的情況。 在我們這裡： 畢達哥拉斯是被人民選出來的！
2. 現代總統大選中最常採用第二輪選舉制度。 我們投票給一名候選人，但如果沒有人超過 50%，則舉行第二輪投票。 獲勝者是獲得絕對多數選票的人，也就是比對手多的選票。 在這種情況下，畢達哥拉斯（34票）和泰勒斯（20票）將晉級第二輪。 在第二輪中，選民依照自己的喜好分配選票。 除了畢達哥拉斯派之外，所有人都更喜歡泰勒斯而不是畢達哥拉斯派。 當一個政黨擁有頑固的選民並且普遍不情願的時候，這是一種常見的情況。 因此，在加時賽中，畢達哥拉斯將不會獲得一票。 結果泰雷茲以66:34獲勝，取得決定性勝利。 類似的情況2001年在斯洛伐克也發生過，第一輪明顯獲勝的候選人在第二輪中落敗。 2005年波蘭總統選舉也發生了同樣的事情：領導人在第一輪選舉後在第二輪選舉中落敗。 總統故事萬歲！
3. 自行車比賽採用所謂的澳洲體系。 賽道每跑一圈後，最後一圈就淘汰。 這個版本的選舉法被稱為「董事選舉」。 獨立後的波蘭第一任總統加布里埃爾·納魯托維奇就是在這種制度下當選的。 我們的希臘會是什麼樣子？

事情比較複雜。 請跟踪。 第一輪，歐幾里得得票最少，落選了（可惜，這麼好的數學家！）。 然後，該黨在第二輪投票選出其名單上的第二位：Tsaplya。 在第二輪中，Heron 獲得 19 + 10 = 29 票。 阿波羅尼烏斯被淘汰（17 票）。 黨，然後投票給蒼鷺。 第三輪畢達哥拉斯（固定選民）34票，泰利斯20票，海倫29+17=46票。 故事都出來了。 法萊西亞人（乙方）也不喜歡畢達哥拉斯派——他們更喜歡傳令官。 其他人也一樣，除了穩定的一方A和E。在最後一回合，赫倫以66:34輕鬆擊敗畢達哥拉斯。 海倫總統萬歲！

     4.歐洲歌唱大賽第一名12分，第二名10分，第三名9分，以此類推。 讓我們假設比分大致相同：6-4-3-2-1。 這就是三場田徑比賽中的得分方式（三支球隊，每場比賽兩名球員；波蘭在 1958 年擊敗了美國和英國！）。 我們的結果將如下：

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

希臘人，這是你們的總統歐幾裡得！

     5. 讀者猜測，我們只需要統計一下票數，結果阿波羅尼奧斯是最好的。 事實上，阿波羅尼烏斯是最好的——因為他是最好的。 所有人都輸給了阿波羅尼奧斯！ 為什麼？

有多少選民將阿波羅尼烏斯置於赫倫之上？ 我們來數：25+17+9=51，就是多數。 不多，但還是。

阿波羅尼奧斯比歐幾裡得領先多少？ 20 + 19 + 17 = 56，大多數。

有多少人喜歡阿波羅尼烏斯而不是泰勒斯：19+17+10+9=55>50。

最後，畢達哥拉斯的阿波羅尼烏斯在 20 名選舉人中選擇了 19 + 17 + 10 + 66 = 100 個。

從那時起——希臘人民，能夠進行邏輯思考——從那時起，最重要的是，阿波羅尼烏斯更喜歡任何其他候選人； 畢竟，下一任期應該由他來統治我們！ 靠近一點，阿波羅尼烏斯，我們當選的總統！ 你將成為我們的44歲。

另請參見：