彩色方塊和日食
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這篇文章介紹了我為中學生 - 國家兒童基金會獎學金獲得者開設的課程。 該基金會尋找特別有天賦的兒童和青少年（從小學 XNUMX 年級到高中），並向選定的學生提供“獎學金”。 然而，它們根本不在於提取現金，而是通常多年來對人才發展的全面關注。 與許多其他此類項目不同，知名科學家、文化人物、傑出的人道主義者和其他智者，以及一些政治家，非常重視基金會的病房。
基金會的活動涵蓋除體育以外的學校基礎科目的所有學科，包括藝術。 該基金會成立於 1983 年，作為當時現實的解藥。 任何人都可以申請該基金（通常是通過學校，最好在學年結束之前），但是，當然，有一定的篩選和一定的資格程序。
正如我已經提到的，本文基於我的大師班，特別是 2016 年 24 月在格丁尼亞第三中學第 2008 初中的大師班。 海軍。 多年來，這些研討會一直由具有非凡魅力和高智力水平的教師沃伊切赫·托馬爾奇克 (Wojciech Tomalczyk) 在基金會的贊助下組織。 XNUMX年，他躋身波蘭前十名，並被授予教育學教授稱號（多年前法律規定）。 「教育是世界的軸心」這一說法有些誇張。
和月亮 總是令人著迷-然後您會感覺到我們生活在一個巨大空間中的一個小星球上，那裡的一切都在運動，以厘米和秒為單位。 它甚至讓我有點害怕，還有時間的觀點。 我們了解到，從今天的華沙地區可以看到的下一次日全食將發生在……2681 年。 我想知道誰會看到它？ 在我們的天空中，太陽和月亮的表觀大小幾乎相同——這就是為什麼日食如此短暫而壯觀。 幾個世紀以來，這短短的幾分鐘應該足以讓天文學家看到日冕。 奇怪的是，它們每年發生兩次……但這只意味著它們可以在地球上的某個地方短時間內被看到。 由於潮汐運動，月球正在遠離地球——在 260 億年後，它將遠離我們（我們？？？） 只會看到日環食。
顯然他是第一個預測的 蝕，是米利都的泰勒斯（西元前28-585世紀）。 我們可能不會知道它是否真的發生過，即他是否預言過，因為小亞細亞日食發生在公元前567年566月XNUMX年XNUMX月這一事實是經過現代計算證實的事實。 當然，我提供的數據是根據今天的時間計算的。 當我還是個孩子的時候，我想像人們如何計算歲月。 所以這是，比如說，公元前二十五年，除夕到來，人們歡欣鼓舞：才公元前二十五年！ 當「我們的時代」終於到來時，他們該是多麼高興啊！ 幾年前我們經歷了多麼里程碑的事啊！
計算日期和範圍的數學 日食，並不是特別複雜，但卻充滿了與身體軌道運動的規律性甚至不均勻性有關的各種因素。 我甚至想知道這個數學。 米利都的泰勒斯如何進行必要的計算？ 答案很簡單。 你必須有一張星圖。 如何製作這樣的地圖？ 這也不難，古埃及人就知道怎麼做。 午夜時分，兩名牧師來到寺廟的屋頂。 他們每個人都坐下來畫下他所看到的東西（就像他的同事一樣）。 兩千多年後，我們知道了行星運動的一切…
美麗的幾何形狀，或“地毯”上的樂趣
希臘人不喜歡數字；他們求助於幾何學。 這就是我們要做的。 我們的 蝕 它們將是簡單的、豐富多彩的，但同樣有趣和真實。 讓我們接受這樣的協議：藍色圖形的移動方式使紅色圖形黯然失色。 我們將藍色圖形稱為月亮，紅色圖形稱為太陽。 我們會問自己以下問題：
- 日食持續多久？
- 當目標的一半被覆蓋時；
米。 1 帶有太陽和月亮的多彩“地毯”
- 最大覆蓋範圍是多少？
- 是否可以分析屏蔽覆蓋範圍對時間的依賴？ 在這篇文章中（限於文字長度）我將重點討論第二個問題。 它背後有一些很好的幾何圖形，也許沒有無聊的計算。 我們來看一下圖。 1. 我們可以假設它與…日食有關嗎？
我必須誠實地說，我將討論的任務將是專門選擇並適應初中生和高中生的知識和技能的。 但我們訓練的任務包括音樂家演奏音階、運動員進行一般發展練習。 而且，這不就是一塊漂亮的地毯嗎（圖1）？
米。 2 “藍”月亮和“紅”太陽
我們的天體，至少在最初，將是彩色方塊。 月亮是藍色的，太陽是紅色的（最適合著色）。 隨著現在 蝕 月亮在天空中追逐太陽，追上了……並遮蓋了它。 我們也將如此。 最簡單的情況是月球相對於太陽運動，如圖所示。 2. 當月盤邊緣接觸太陽盤邊緣時，日食開始（圖 2），當月盤邊緣超出太陽盤邊緣時，日食結束。
米。 3 月亮以對角線接近太陽
我們假設「月亮」每單位時間移動一格，例如每分鐘。 然後日食持續八個時間單位，例如分鐘。 一半 日食 完全變暗 錶盤的一半關閉兩次：2 分鐘後和 6 分鐘後。 黑暗百分比的圖表很簡單。 在前兩分鐘內，防護罩以 1 到 XNUMX 的速率均勻關閉，在接下來的兩分鐘內，它以相同的速率打開。
這是一個更有趣的例子（圖 3）。 月亮以對角線接近太陽。 根據我們每分鐘的約定，日食持續8√2 分鐘 - 在這段時間的中間，我們看到了日全食。 讓我們計算一下在時間 t 之後太陽的哪一部分被遮蓋了（圖 3）。 如果自月食開始以來已經過去了 t 分鐘，結果月亮如圖 5 所示。 4、然後（注意！）因此，它被覆蓋了（正方形APQR的面積），等於太陽圓盤的一半；因此，它被覆蓋的時候，即4 分鐘後（日食結束前 XNUMX 分鐘）。
米。 圖 4 “陰影”函數圖
整體性 持續一瞬間 (t = 4√2），「陰影部分」函數的圖形由兩條拋物線組成（圖4）。
我們的藍色月亮將與紅色太陽接觸，但它會覆蓋它，不是對角線，而是稍微對角線。當我們稍微複雜化運動時，就會出現有趣的幾何形狀（圖 6）。 運動方向現在是向量 [4,3]，即「向右四個單元格，向上三個單元格」。 太陽的位置使得當「天體」的側面收斂到其長度的四分之一時日食開始（位置A）。 當月亮移動到B位置時，它將遮住太陽的六分之一，而在C位置時，它將遮住太陽的一半。 在 D 位置，我們看到了日全食，然後一切又回到了「原來的樣子」。
米。 5 時間 t 期間太陽的一部分被隱藏
當月亮位於 G 位置時，日食結束。它持續了 截面長度AG。 如果像前面一樣，我們把月球經過「一個方格」的時間當作時間單位，那麼AG的長度就相等了。 如果我們回到舊的慣例，即我們的天體是 4 x 4，結果會有所不同（什麼？）。 很容易看出，目標在 t < 15 後關閉。「螢幕覆蓋百分比」函數的圖表如圖 6 所示。 XNUMX.
米。 圖 6 “保護百分比”函數圖
日食和跳躍方程
米。 圖 7 日食期間日盤的遮擋情況如圖 6 所示。 XNUMX
如果我們不考慮圓的情況，日食問題就不完整。 這要複雜得多，但讓我們嘗試找出一個圓何時遮蓋另一個圓的一半 - 在最簡單的情況下，其中一個圓何時沿著連接它們的直徑移動。 任何信用卡持有者都熟悉這張圖。
計算場的位置很複雜，因為它首先需要了解圓弧面積的公式，其次需要了解角度的弧度，第三（也是最糟糕的）需要具備以下能力：求解某個跳躍方程式。 我不會解釋什麼是「傳遞方程式」；讓我們來看一個例子（圖8）。
米。 8 “球狀”日食
圓形截面就是圓切成直線後剩下的「碗」。 這樣一段的面積為S=1/2r2(φ-sinφ)，其中 r 是圓的半徑，φ 是線段所在的圓心角（圖 8）。 這可以透過從扇形面積減去三角形面積來輕鬆獲得。
第O集1O2 （圓心之間的距離）為 2rcosφ/2，高度（寬度，「腰圍」）h = 2rsinφ/2。 因此，如果我們想計算月球何時覆蓋太陽盤的一半，我們需要解方程式：方程式經過簡化後，形式為：
米。 9 兩個函數的圖像
求解此類方程式不僅僅是簡單的代數——該方程式涉及角度及其三角函數。 此方程式超出了傳統方法的範圍。 這就是為什麼它被稱為 跳。 我們先來看兩個函數的圖，即函數和函數，我們可以從圖中讀出近似解。 但是，我們可以使用迭代方法來獲得近似值，或者...使用 Excel 電子表格中的「求解器」選項。 每個高中生都應該能夠做到這一點，因為這是20世紀。 我使用了更複雜的 Mathematica 工具，這是我們的解決方案，具有不必要的小數位精度：
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
米。 10 matematica 中的 Eclipse 動畫
我們乘以 180/π 將其轉換為度數。 我們得到 132 度、20 分、45 度又四分之一角秒。 讓我們計算一下到圓心的距離是O1O2 = 0,808 半徑，「腰」2,310。
