所以對誰來說，那就是：盡你所能 - 第 2 部分

在上一集中，我們討論了數獨，這是一種算術遊戲，其中數字基本上按照一定的規則排列在各種圖表上。 最常見的選擇是 9x9 的棋盤，進一步分為 3 個 3x1 的方格。 必須在其上設置從 9 到 XNUMX 的數字，以便它們不會在垂直行（數學家說：在一列中）或水平行（數學家說：在一行中）中重複 - 而且，此外，所以他們不會重複。 在任何較小的正方形內重複。

Na 無花果。 1 我們看到這個拼圖的一個簡單版本，它是一個6 × 6 的正方形，分為2 × 3 的矩形。我們將數字1, 2, 3, 4, 5, 6 插入其中- 這樣它們就不會垂直重複，也不會重複水平方向或每個選定的六邊形。

讓我們嘗試一下頂部方塊中顯示的那個。 你能依照這個遊戲的規則，填上1到6的數字嗎？ 這是可能的——但它是模棱兩可的。 讓我們看看 - 我們完成了左邊或右邊的正方形的繪製。

你可以說這不是謎題的基礎。 我們通常假設一個謎題有一個解。 為「大」數獨（9x9）找到不同的底是一項艱鉅的任務，而且沒有機會完全解決它。

另一個重要的連結是矛盾系統。 底部中間的方塊（右下角有數字 2 的方塊）無法完成。 為什麼？

樂趣和靜修

我們繼續玩吧。 讓我們利用孩子的直覺。 他們相信娛樂是學習的引子。 讓我們進入太空吧。 包括 無花果。 2 每個人都看到網格 四面體由球製成，例如乒乓球？ 讓我們記住學校的幾何課。 圖片左側的顏色解釋了組裝塊時所黏的內容。 特別是，三個角球（紅色）將粘成一個。 因此，它們必須包含相同的數字。 也許是 9。為什麼？ 那麼為何不呢？

哦我沒說出口 任務。 聽起來像這樣：是否可以將 0 到 9 的數字放入可見的網格中，以便每條邊都包含所有數字？ 任務並不困難，但需要很大的想像！ 我不會破壞讀者的樂趣，也不會提供解決方案。

這是一個非常美麗且被低估的形狀 正八面體，由兩個有方形底座的金字塔（=金字塔）建造而成。 顧名思義，八面體有八個面。

八面體有六個頂點。 這矛盾了 立方體它有六個面和八個頂點。 兩個腫塊的邊緣是相同的－各十二個。 這 雙固體 - 這意味著透過連接立方體面的中心我們將得到一個八面體，而八面體面的中心將給我們一個立方體。 這兩位大佬都這麼做（「因為他們必須這麼做」） 歐拉公式：頂點數與面數和比邊數多 2。

3. 平行投影的正八面體和由每條邊有四個球體的球體組成的八面體晶格。

1工作。 首先，用數學公式寫出上一段的最後一句。 在 無花果。 3 你會看到一個八面體網絡，也由球體組成。 每條邊上有四個球。 每個面都是由十個球體組成的三角形。 任務是獨立提出的：是否可以將 0 到 9 的數字放入網格的圓圈中，以便在將固體粘合在一起後，每面牆都包含所有數字（因此不會重複）。 和以前一樣，這個問題的最大挑戰是網格如何變成實體。 我無法用書面形式解釋這一點，所以我在這裡也不提供解決方案。

4. 兩個由乒乓球組成的二十面體。 注意不同的配色。

已經 柏拉圖 （他生活在公元前 XNUMX-XNUMX 世紀）知道所有正多面體：四面體、立方體、八面體、 十二面體 i 二十面體。 令人驚訝的是他是如何到達那裡的——沒有鉛筆，沒有紙，沒有鋼筆，沒有書，沒有智慧型手機，沒有網路！ 這裡我就不講十二面體了。 但二十面體數獨很有趣。 我們看到這個腫塊 圖4和他的網絡 圖 5.

5.正二十面體網格。

和之前一樣，這不是我們在學校記憶中（？！）意義上的網格，而是一種將球（球）黏合成三角形的方法。

2工作。 組裝這樣一個二十面體需要多少個球？ 下面的推理是否仍然正確：由於每個面都是三角形，如果有 20 個面，那麼需要多達 60 個球體？

6. 球體的二十面體網格。 例如，每個圓圈代表一個乒乓球，但是在一個圓圈上建立圓圈，並用相同的顏色標記，就會合併成一個整體。 所以我們有十二個球體（=十二個頂點：紅色、藍色、紫色、藍色和八個黃色）。

很容易看出，二十面體中的三個數字是不夠的。 更準確地說：不可能用數字1、2、3對頂點進行編號，使得每個（三角形）面都具有這三個數字且不存在重複。 可以用四個數字嗎？ 對的，這是可能的！ 我們來看看 米。 6和7.

7. 以下介紹如何將組成二十面體的球體編號，以便每個面都包含 1、2、3、4 以外的數字。 4 就這樣上色了嗎？

3工作。 四個數字中的三個可以透過四種方式選擇：123、124、134、234。在圖 7 的二十面體中找到五個這樣的三角形。 XNUMX（也來自 插圖4).

4工作 （需要非常好的空間想像力）。 二十面體有十二個頂點，這意味著它可以由十二個球黏合在一起（無花果。 7）。 請注意，有三個頂點（= 球）標記為 1，三個頂點標記為 2，依此類推。 因此，相同顏色的球形成一個三角形。 這是一個什麼樣的三角形？ 也許等邊？ 再看一遍 插圖4.

下一個任務是祖父母和孫子的任務。 家長們也終於可以嘗試了，但需要耐心和時間。

5工作。 買24 個（或更好，1 個）乒乓球、一些四種顏色的油漆、一把刷子和你需要的膠水——我不推薦像超級膠水或水滴膠這樣的快速膠水，因為它們乾得太快，對孩子來說很危險。 黏上二十面體。 給你的孫女穿上一件 T 卹，然後立即清洗（或丟掉）。 用箔紙（最好是報紙）蓋住桌子。 仔細在二十面體上塗上四種顏色2、3、4、XNUMX，如圖所示。 無花果。 7。 您可以更改順序 - 先給球著色，然後粘合它們。 在這種情況下，小圓圈應該不塗漆，這樣油漆就不會粘在油漆上。

現在是最困難的任務（或者更確切地說，是他們的整個序列）。

6工作 （更準確地說，是一個一般性主題）。 構造二十面體，如四面體和八面體 米。 2和3 - 這意味著每條邊上應該有四個球。 在這種選擇中，這項任務既是勞力密集的，甚至是成本高昂的。 讓我們先找出您需要多少球。 每個面有十個球體，那麼二十面體需要兩百個嗎？ 不！ 我們必須記住，許多球是共享的。 二十面體有多少邊？ 可以苦苦算出來，但是歐拉公式是做什麼用的呢？

w–k+s=2

其中 w、k、s 分別是頂點、邊和麵的數量。 我們記得 w = 12，s = 20，這表示 k = 30。二十面體有 30 條邊。 你可以用不同的方式來做，因為如果有 20 個三角形，那麼它們只有 60 條邊，但其中兩條是公共的。

我們來數一下需要多少球。 每個三角形只有一個內部球 - 既不在我們身體的頂部，也不在邊緣。 因此，我們只有 20 個這樣的球。 有12座山峰。 每條邊都有兩個非頂點球（它們位於邊內部，但不在面內部）。 由於有 30 條邊，因此會有 60 個球，但其中兩個是常見的，這意味著您只需要 30 個球，因此總共需要 20 + 12 + 30 = 62 個球。 球的售價至少為 50 格羅申（通常更多）。 如果加上膠水的成本，結果是…很多。 良好的黏合需要幾個小時的艱苦工作。 總之，它們適合放鬆的消遣——我推薦它們，而不是看電視等。

撤退 1. 在安傑伊·瓦依達 (Andrzej Wajda) 的系列電影《逐年逐日》(By the Years, by the Days) 中，兩個男人下棋「因為他們需要在午餐前以某種方式打發時間」。 這件事發生在加利西亞克拉科夫。 確實：報紙已經被閱讀了（當時只有四頁），電視和電話還沒發明，還沒有足球比賽。 無聊的水坑。 在這種情況下，人們想出了自己的娛樂方式。 今天我們按下遙控器後就得到了它們......

撤退 2. 在 2019 年數學教師協會的一次會議上，一位西班牙教授示範了一個可以將實心牆塗成任何顏色的電腦程式。 有點令人毛骨悚然，因為他們只畫了手，幾乎把身體切掉了。 我心想：這樣的「畫」能得到多少樂趣呢？ 一切都需要兩分鐘，到了第四分鐘我們就什麼都不記得了。 同時，老式的「手工藝」具有平靜和教育作用。 不信的人可以試試看。

讓我們回到二十世紀，回到我們的現實。 如果我們不想以勞動密集型黏合球的形式放鬆，那麼我們至少會畫一個邊緣有四個球的二十面體網格。 怎麼做？ 正確粉碎 圖 6. 細心的讀者已經猜到問題所在：

7工作。 是否可以用 0 到 9 的數字對球進行編號，以便所有這些數字都位於這樣的二十面體的每個面上？

我們付錢是為了什麼？

今天我們常常想知道我們活動的目的，「灰色納稅人」會問為什麼他應該付錢給數學家來解決這些難題？

答案很簡單。 這些「謎題」本身就很有趣，是「更嚴肅的事物的碎片」。 畢竟，閱兵只是艱難服役中外在的、壯觀的一部分。 我只舉一個例子，但我將從奇怪但國際公認的數學學科開始。 1852年，一名英國學生問他的教授是否可以將任何地圖塗成四種顏色，以便鄰國始終以不同的顏色顯示？ 讓我補充一點，我們不考慮那些僅在一點相交的“鄰國”，例如美國的懷俄明州和猶他州。 教授不知道……這個問題等了一百多年才解決。

8. RECO 區塊中的二十面體。 閃光反射鏡顯示了二十面體與三角形和五邊形的共同點。 五個三角形在每個頂點相交。

這發生在一個意想不到的方向。 1976 年，一群美國數學家編寫了一個程式來解決這個問題（他們決定：是的，四種顏色就足夠了）。 這是在「數學機器」的幫助下獲得的數學事實的第一個證明——半個世紀前計算機被稱為（甚至更早：「電子大腦」）。

這是專門展示的「歐洲地圖」（無花果。 9）。 那些擁有共同邊界的國家是相連的。 為地圖著色與為該圖（稱為圖）的圓圈著色相同，因此沒有連接的圓圈具有相同的顏色。 看看列支敦士登、比利時、法國和德國就會發現，有三種顏色是不夠的。 讀者，如果你願意，可以給它塗上四種顏色。

9. 在歐洲誰與誰接壤？

嗯，是的，但是這值得納稅人的錢嗎？ 因此，讓我們以不同的方式看待同一張圖表。 讓我們忘記有國家和邊界。 讓圓圈代表要從一個點發送到另一點（例如，從 P 到 EST）的資訊包，而線段代表可能的連接，每個連接都有自己的吞吐量。 盡快發送？

首先，讓我們來看一個非常簡化但從數學角度來看也非常有趣的情況。 我們必須使用具有相同頻寬的連接網路（例如 1）從點 S（= 作為起點）向點 M（= 終點）發送一些內容。我們在 無花果。 10.

10. 從 Stacyjka Zdroj 到 Megapolis 的連接網絡。

假設需要從 S 發送到 M 大約 89 位元訊息。 這些話的作者喜歡火車問題，所以他想像自己是 Stacie Zdroj 的經理，他必須從那裡調度 144 節車廂。 到特大城市站。 為什麼是144？ 因為，正如我們將看到的，這將用於計算整個網路的吞吐量。 每個站點的容量為 1，即一輛車每單位時間可以行駛（一個訊息位，也可能是千兆位元組）。

讓我們確保所有車輛在 M 處同時相遇。每個人都在 89 個時間單位內到達那裡。 如果我有一個非常重要的StoM訊息包要發送，我會將其分成144個單元的群組並按上述方式推送。 數學保證這將是最快的。 我怎麼知道你需要89？ 我確實猜到了，但如果我沒有猜到，我就得弄清楚了 基爾霍夫方程 （有人記得嗎？-這些是描述電流流動的方程式）。 網路吞吐量為184/89，約為1,62。

關於喜悅

順便說一句，我喜歡 144 號。我喜歡乘坐這個號碼的巴士去華沙的城堡廣場 - 當時附近沒有修復的皇家城堡。 也許年輕的讀者知道「一打」是什麼。 這是12本，但只有老讀者才會記得有十幾本，也就是一打本。 122=144，這就是所謂的多。 每個對數學了解比學校課程多一點的人都會立即理解這一點 無花果。 10 我們有斐波那契數，網路吞吐量接近“黃金數”

在斐波那契數列中，144 是唯一完全平方數。 一百四十四也是一個「快樂的數字」。 印度業餘數學家是這樣的 達塔特雷亞·拉瑪錢德拉·卡普雷卡 1955 年，他命名了可被其組成數字總和整除的數字：

如果他知道這一點就好了 亞當·密斯凱維​​奇，他肯定會在 Dziady 中寫“不”：“來自別人的母親；來自別人的母親；來自別人的母親。” 他的血液是他的老英雄/他的名字是四十四，只是更優雅：他的名字是一百四十四。

認真對待樂趣

我希望我能讓讀者相信，數獨謎題是事物有趣的一面，絕對值得認真看待。 我無法進一步展開這個話題。 哦，完整的網路頻寬計算來自提供的圖表 無花果。 9 編寫方程組需要兩個或更多小時 - 甚至可能需要數十秒（！）的電腦工作。