幾何路徑和灌木叢

在寫這篇文章時，我想起了 Jan Pietrzak 的一首非常古老的歌曲，這是他在 Pod Egidą 歌舞表演之前唱的，這首歌在波蘭人民共和國被視為安全閥； 人們可以誠實地嘲笑這一制度的悖論。 在這首歌中，作者透過嘲笑那些想要非政治性的人和關閉報紙上的廣播來推薦社會主義政治參與。 「最好還是回去學校讀書吧，」當時 XNUMX 歲的彼得扎克諷刺地唱道。

我要回學校讀書了。 我正在重讀（不是第一次）Shchepan Yelensky（1881-1949）的書“Lylavati”。 對於少數讀者來說，這個詞本身就說明了一些事情。 這是著名的印度數學家 Bhaskara（1114-1185）的女兒的名字，名叫 Akaria，或者是用這個名字命名他的代數書的聖人。 Lilavati 後來成為著名的數學家和哲學家。 根據其他消息來源，這本書是她自己寫的。

Szczepan Yelensky 為他的數學著作（第一版，1926 年）賦予了相同的標題。 甚至可能很難將這本書稱為數學著作——它更像是一組謎題，並且大部分是根據法語來源重寫的（現代意義上的版權不存在）。 無論如何，多年來，它是唯一一本流行的波蘭數學書籍——後來耶倫斯基的第二本書，畢達哥拉斯的糖果，被添加到其中。 所以對數學感興趣的年輕人（我曾經就是這樣）別無選擇......

另一方面，“Lilavati”幾乎要背熟……啊，有的時候……他們最大的優勢就是我當時……還是個十幾歲的孩子。 今天，從一個受過良好教育的數學家的角度來看，我以一種完全不同的方式看待 Lilavati——也許就像一個在通往 Shpiglasova Pshelench 的道路彎道上的登山者。 一個或另一個都不會失去其魅力...... Shchepan Yelensky 在他的個人生活中自稱所謂的民族思想，他以其獨特的風格在序言中寫道：

在不涉及民族特徵的描述的情況下，我要說的是，即使在九十年之後，葉連斯基關於數學的話也沒有失去其意義。 數學教你思考。 這是事實。 我們能教你以不同的方式、更簡單、更美麗的方式思考嗎？ 或許。 只是……我們還是做不到。 我向不想做數學的學生解釋說，這也是對他們智力的測驗。 如果你不能學習一個非常簡單的數學理論，那麼......也許你的心智能力比我們都希望的更差......？

沙子裡的痕跡

這是《Lylavati》中的第一個故事－法國哲學家約瑟夫‧德‧邁斯特（Joseph de Maistre，1753-1821）所描述的故事。

一名水手從一艘失事的船上被海浪拋到了空蕩蕩的海岸上，他認為那裡無人居住。 突然，在海邊的沙地上，他看到了某人面前畫著一個幾何圖形的痕跡。 這時他才發現，這座島不是荒島！

葉倫斯基引用德梅斯特里的話寫道： 幾何圖形這本來是對不幸的沉船巧合的無聲表達，但他第一眼就向他展示了比例和數字，這預示著一個開明的人。” 歷史就這麼多了。

請注意，水手也會引起相同的反應，例如畫出字母 K，...以及任何其他人存在的痕跡。 幾何在這裡被理想化。

然而，天文學家卡米爾·弗拉馬里翁（Camille Flammarion，1847-1925）提出，文明利用幾何學從遠處互相問候。 他認為這是唯一正確且可能的溝通嘗試。 讓我們向這些火星人展示畢達哥拉斯三角形……他們會用泰勒斯回答我們，我們會用維塔模式回答他們，他們的圓將適合三角形，所以友誼已經開始了……

儒勒·凡爾納和斯坦尼斯瓦夫·萊姆等作家又回到了這個想法。 1972 年，帶有幾何（和其他）設計的瓷磚被放置在先鋒號探測器上，該探測器仍在穿越廣闊的太空，現在距離我們近140 個天文單位（1 I 是地球與地球的平均距離） 。 太陽，即約149億公里）。 該瓷磚是由天文學家弗蘭克·德雷克（Frank Drake）等人開發的，他是有爭議的外星文明數量規則的創造者。

幾何形狀絕對令人驚嘆。 我們都知道關於這門科學起源的一般觀點。 我們（我們人類）才剛開始出於最功利的目的來測量地球（然後是地球）。 確定距離、畫直線、標記直角和計算體積逐漸成為必要。 這就是一切的來源 幾何 （“地球的測量”），因此所有的數學......

然而，有一段時間，這種清晰的科學史圖像讓我們蒙上了陰影。 因為如果數學只是用於操作目的，我們就不會致力於證明簡單的定理。 「你看，這通常應該是正確的，」在檢查了幾個直角三角形中斜邊平方和等於斜邊平方後，每個人都會說。 為什麼會出現這樣的形式主義呢？

李子派必須好吃，電腦程式必須工作，機器必須工作。 如果我計算了桶的容量三十次並且一切正常，那為什麼呢？

同時，古希臘人意識到他們需要找到一些正式的證據。

因此，數學始於泰勒斯（公元前 625-547 年）。 據推測是米利都開始想知道為什麼。 對聰明人來說，光是看到某件事、確信某件事是不夠的。 他們看到了證明的必要性，即從假設到論點的論證的邏輯順序。

他們還想要更多。 泰勒斯可能是第一個嘗試在沒有神的干預的情況下以自然主義方式解釋物理現象的人。 歐洲哲學始於自然哲學──物理學背後已經存在的東西（因此得名：形上學）。 但歐洲本體論和自然哲學的基礎是畢達哥拉斯學派奠定的（畢達哥拉斯，西元前 580 年至西元前 500 年）。

他在亞平寧半島南部的克羅託內創立了自己的學校——今天我們稱之為一個教派。 科學（當前意義上的科學）、神秘主義、宗教和幻想都緊密地交織在一起。 托馬斯·曼在小說《浮士德博士》中非常精彩地講述了德國體育館裡的數學課。 片段由 Maria Kuretskaya 和 Witold Virpsha 翻譯，內容如下：

在查爾斯·範·多倫（Charles Van Doren）的有趣著作《從歷史黎明到當今的知識史》中，我發現了一個非常有趣的觀點。 在其中一章中，作者描述了畢達哥拉斯學派的意義。 這一章的標題本身就讓我印象深刻。 上面寫著：“數學的發明：畢達哥拉斯學派。”

我們經常討論數學理論是否正在被發現（例如未知的土地）或正在被發明（例如以前從未存在過的機器）。 一些富有創造力的數學家認為自己是研究人員，其他人則認為自己是發明家或設計師，或較少見的是計算器。

但這本書的作者寫的是一般意義上的數學發明。

從誇張到妄想

在這長長的介紹部分之後，我將進入最開始的部分 幾何，描述對幾何的過度信念如何導致科學家誤入歧途。 約翰內斯·開普勒在物理學和天文學界以天體運動三大定律​​的發現者而聞名。 首先，太陽系中的每顆行星都以橢圓軌道繞太陽運行，太陽位於一個焦點。 其次，從太陽發出的行星主光線每隔一段時間就會畫出相等的場。 第三，對於太陽系的所有行星來說，行星繞太陽公轉週期的平方與其軌道半長軸（即與太陽的平均距離）的立方之比是恆定的。

這可能是第三定律——它需要大量的數據和計算才能建立，這促使開普勒繼續尋找行星運動和位置的模式。 他的新「發現」的故事非常有啟發性。 自古以來，我們不僅推崇正多面體，也推崇空間中只有五個正多面體的推理。 如果三維多面體的面是相同的正多邊形且每個頂點具有相同數量的邊，則該三維多面體稱為正多面體。 舉例來說：正多面體的每個角落都應該「看起來相同」。 最著名的多面體是立方體。 每個人都看到了一個普通的腳踝。

正四面體不太為人所知，在學校裡它被稱為正三角錐。 它看起來像一座金字塔。 其他三個正多面體鮮為人知。 當我們連接立方體邊緣的中心時，就形成了八面體。 十二面體和二十面體看起來已經像球了。 它們由柔軟的皮革製成，挖掘起來很舒適。 除了五個柏拉圖立體之外不存在正多面體的推理非常好。 首先，我們意識到，如果物體是規則的，那麼相同數量（令 q）的相同規則多邊形必須在每個頂點處收斂，令它們為 p 角。 現在我們需要記住正多邊形的角度是多少。 如果有人不記得學校的情況，我們會提醒您如何找到正確的模式。 我們在轉角處走了一趟。 在每個頂點，我們旋轉相同的角度 a。 當我們繞過多邊形並返回起點時，我們已經旋轉了 p 個這樣的轉彎，總共旋轉了 360 度。

但 α 是我們要計算的角度的 180 度補角，因此等於

我們找到了正多邊形的角度公式（數學家會說：角度度量）。 讓我們檢查一下：在三角形 p = 3 中，沒有 a

像這樣。 當 p = 4（平方）時，則

度，這也很正常。

五邊形我們能得到什麼？ 那麼當有 q 個多邊形，每個 p 具有相同的角度時會發生什麼

 度數，在一個頂點下降？ 如果在一個平面上，就會形成一個角度

度並且不能超過 360 度 - 因為這樣多邊形就會重疊。

然而，由於這些多邊形在空間中相交，因此角度必須小於全角。

這是這一切的不等式：

我們將它除以 180，將兩個部分都乘以 p，順序 (p-2) (q-2) < 4。接下來會發生什麼？ 讓我們認識到 p 和 q 必須是自然數，並且 p > 2（為什麼？p 是什麼？），並且 q > 2。使兩個自然數的乘積小於 4 的可能性並不多。我們將它們全部列於表1 中。

我不發圖，大家可以在網上看到這些圖……在網上……我不會拒絕一句抒情的題外話——也許對小讀者來說很有趣。 1970 年，我在一次研討會上發言。 這個話題很難。 我幾乎沒有時間準備，我在晚上坐著。 主要文章是只讀的。 這個地方很舒適，有工作氛圍，嗯，七點關門。 然後新娘（現在是我的妻子）親自提出要為我重寫整篇文章：打印了大約十二頁。 我抄了（不，不是用鵝毛筆，我們甚至有鋼筆），講座很成功。 今天我試圖找到這本已經很舊的出版物。 只記得作者的名字……網上搜了很久……整整十五分鐘。 我帶著假笑和一點不合理的遺憾想到它。

我們回到 幾何學。 顯然，柏拉圖預言了第五種正則形式的存在，因為他缺乏某種統一的、涵蓋整個世界的東西。 也許這就是他派一名弟子（Teajtet）來尋找她的原因。 事實就是如此，十二面體就是在這個基礎上被發現的。 我們稱這種柏拉圖式的態度為泛神論。 所有科學家，直到牛頓，都或多或少地屈服於它。 自從非常理性的十八世紀以來，它的影響力已經急劇下降，儘管我們不應該因為我們都在某種程度上屈服於它而感到羞恥。

在克卜勒建構太陽系的概念中，一切都是正確的，實驗數據與理論吻合，理論邏輯上和諧，非常美麗……但完全錯誤。 在他的時代，人們只知道六顆行星：水星、金星、地球、火星、木星和土星。 為什麼只有六顆行星？ - 開普勒問。 什麼模式決定了它們與太陽的距離？ 他認為一切事物都是相互連結的 幾何學和宇宙論 彼此密切相關。 從古希臘人的著作中，他知道正多面體只有五種。 他看到六個軌道之間有五個空隙。 那麼也許這些自由空間中的每一個都對應到一些正多面體？

經過幾年的觀察和理論工作，他創建了以下理論，並在該理論的幫助下相當準確地計算了軌道的尺寸，並在1596 年出版的《宇宙之謎》一書中提出了這一點：想像一個巨大的球體，其直徑是水星繞太陽運行的軌道的直徑。 然後想像這個球體上有一個正八面體，其上有一個球體，其上有一個二十面體，其上又有一個球體，其上有一個十二面體，其上有另一個球體，其上有一個四面體，然後又在一個球體上，立方體，最後在這個立方體上描述了球。

開普勒得出結論，這些連續球體的直徑是其他行星軌道的直徑：水星、金星、地球、火星、木星和土星。 這個理論似乎非常準確。 不幸的是，這與實驗數據相吻合。 還有什麼比它與實驗數據或觀測數據，尤其是“取自天上”的數據的對應更能證明數學理論的正確性呢？ 我在表 2 中總結了這些計算。那麼開普勒做了什麼？ 我試了又試，直到它成功，也就是說，當配置（球體的順序）和由此產生的計算與觀測數據一致時。 以下是現代開普勒數據和計算：

人們可能會屈服於理論的魅力，並相信天空中的測量是不準確的，而不是在安靜的工作室中進行的計算。 不幸的是，今天我們知道至少有九顆行星，任何類似的結果都只是巧合。 可惜了。 真是太美了…